평행축 정리

평행축 정리

평행축 정리

강체의 임의의 회전축에 대한 관성모멘트그 축과 평행 하고 질량중심을 지나는 회전축에 대한 관성모멘트강체의 질량과 두 축 사이의 거리제곱의 곱을 더한 것과 같다.

$$ \color{red}I=\color{blue}{I_{cm}}+\color{green}{md^{2}} $$

증명

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임의로 좌표축을 설정하고 $z$-축에 대한 관성모멘트를 $I_{z}$라 하자.

$$ \begin{equation} I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i} {r_{i}}^{2} = \sum\limits_{i} m_{i} ({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}) \label{eq1} \end{equation} $$

원점에서 강체의 임의의 점까지의 거리를 원점에서 질량중심까지의 거리와 질량중심에서 점까지의 거리의 합으로 나타내면 다음과 같다.

$$ x_{i}=x_{cm}+\bar x_{i} $$

$$ y_{i}=y_{cm}+ \bar y_{i} $$

이를 $\eqref{eq1}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i} \left[ (x_{cm}+\bar x_{i})^{2}+(y_{cm}+ \bar y_{i})^{2} \right] $$

전개해서 정리하면 아래와 같다.

$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({\bar x_{i}}^{2}+{\bar y_{i}}^{2}) + \sum\limits_{i} m_{i}({x_{cm}}^{2}+{y_{cm}}^{2})+2x_{cm}\sum\limits_{i} m_{i}\bar x_{i} + 2y_{cm} \sum\limits_{i} m_{i}\bar y_{i} $$

각 항에 대해서 계산해보자.

위의 결과들을 종합하면 다음과 같다.

$$ I_{z}=I_{cm}+md^{2} $$

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