평행축 정리

평행축 정리

proof of parallel axis theorem

평행축 정리

강체의 임의의 회전축에 대한 관성모멘트그 축과 평행 하고 질량중심을 지나는 회전축에 대한 관성모멘트강체의 질량과 두 축 사이의 거리제곱의 곱을 더한 것과 같다.

$$ \color{red}I=\color{blue}{I_{cm}}+\color{green}{md^{2}} $$

증명

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임의로 좌표축을 설정하고 $z$-축에 대한 관성모멘트를 $I_{z}$라 하자.

$$ \begin{equation} I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i} {r_{i}}^{2} = \sum\limits_{i} m_{i} ({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}) \label{eq1} \end{equation} $$

원점에서 강체의 임의의 점까지의 거리를 원점에서 질량중심까지의 거리와 질량중심에서 점까지의 거리의 합으로 나타내면 다음과 같다.

$$ x_{i}=x_{cm}+\bar x_{i} $$

$$ y_{i}=y_{cm}+ \bar y_{i} $$

이를 $\eqref{eq1}$에 대입하면 다음과 같다.

$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i} \left[ (x_{cm}+\bar x_{i})^{2}+(y_{cm}+ \bar y_{i})^{2} \right] $$

전개해서 정리하면 아래와 같다.

$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({\bar x_{i}}^{2}+{\bar y_{i}}^{2}) + \sum\limits_{i} m_{i}({x_{cm}}^{2}+{y_{cm}}^{2})+2x_{cm}\sum\limits_{i} m_{i}\bar x_{i} + 2y_{cm} \sum\limits_{i} m_{i}\bar y_{i} $$

각 항에 대해서 계산해보자.

  • part 1. 첫번째 항

    $({\bar x_{i}}^{2}+{\bar y_{i}}^{2})$은 질량 중심에서부터 각 점까지의 거리제곱을 나타낸다. 따라서 첫번째항은 질량중심을 지나는 회전축에 대한 관성모멘트 즉, $I_{cm}$이다.

  • part 2. 두번째 항

    $({x_{cm}}^{2}+{y_{cm}}^{2})$은 임의의 회전축과 질량중심을 지나는 회전축까지의 거리제곱을 나타낸다. 따라서 두번째 항은 $md^{2}$이다.

  • part 3. 세번째, 네번째 항

    질량중심의 정의에 의해서 세번째, 네번째 항은 0이다. 왜 그런지 계산해보자. $x$방향의 질량중심은 다음과 같다.

    $$ x_{cm}=\frac{\sum m_{i}x_{i}}{m} $$

    이를 풀어보면 다음과 같다.

    $$ \begin{align*} x_{cm} &= \frac{\sum m_{i}x_{i}}{m} \\ &= \frac{\sum m_{i}(x_{cm}+\bar x_{i})}{m} \\ &= \frac{\sum m_{i} x_{cm}}{m}+\frac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \\ &= \frac{ x_{cm} \sum m_{i}}{m}+\frac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \end{align*} $$

    이때 $\sum m_{i}=m$이므로 위 식은 다음과 같다.

    $$ \begin{array}{llc} && x_{cm}=x_{cm}\dfrac{m}{m}+\dfrac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} = x_{cm}+ \dfrac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \\ \implies && 0 = \dfrac{ \sum m_{i}\bar x_{i}}{m} \end{array} $$

    따라서 $\sum m_{i} \bar x_{i}=0$이고, 이는 $\bar y_{i}$에 대해서도 마찬가지이다.

위의 결과들을 종합하면 다음과 같다.

$$ I_{z}=I_{cm}+md^{2} $$

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