직교 분해 정리 증명

직교 분해 정리 증명

정리1

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$를 힐베르트 공간이라 하자. 그러면 $H$의 닫힌 부분공간 $M$에 대해서

$$ H = M \oplus M^{\perp} $$

따름정리

$$ \left( M^{\perp} \right)^{\perp} = M $$

따름정리로써 $\left( M^{\perp} \right)^{\perp} := \left\{ \mathbf{x} \in H \mid \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0 , \mathbf{m}^{\perp} \in M^{\perp} \right\}$ 에 대해 위의 사실을 증명해낼 수 있다.

설명

$M^{\perp } := \left\{ \mathbf{x} \in H \mid \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{m} \right\rangle = 0 , \mathbf{m} \in M \right\}$ 을 $M$ 의 직교여집합이라고 한다. 직교성만큼이나 유용한 성질도 흔치 않다. 힐베르트 공간이 이를 보장한다는 것은 곧 힐베르트 공간이 좋은 공간이라는 말이 된다.

한편 증명과정에 최단 벡터 정리가 쓰이기 때문에 힐베르트 공간이 아닌 내적공간에 대해서는 성립하지 않는다.

증명

전략: 증명과정은 단순히 직합으로 나타날 조건을 보일 뿐이다.


$\mathbf{x} \in M$ 이라고 하면 $\mathbf{x} = \mathbf{x} + \mathbb{0}$ 이므로 증명할 게 없다. 따라서 $\mathbf{x} \in H$이고 $\mathbf{x} \notin M$이라 하자. 그러면 $M \lneq H$ 이고, $M$ 이 닫힌 집합이므로 최단 벡터 정리를 사용할 수 있다.

최단 벡터 정리

$H$를 힐베르트 공간이라고 하자. $M \lneq H$ 을 공집합이 아닌 닫힌 컨벡스 부분공간이라고 하자. 그러면 $\mathbf{x} \in ( H \setminus M)$ 에 대해

$$ \delta := \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \| = \inf_{\mathbf{m} \in M} \| \mathbf{x} - \mathbf{m} \| > 0 $$

을 만족하는 $\mathbf{m}_{0} \in M$가 유일하게 존재한다.

어떤 $\mathbf{m} \in M$ 에 대해 $t := \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0 } , \mathbf{m} \right\rangle \in \mathbb{C}$ 라고 두자.

결국 어찌되든 Case 1. 에 의해 $t = 0$ 이어야만한다. 그 말은 최단 벡터 정리에 의해 존재성이 보장된 $\mathbf{m}_{0} \in M$ 에 대해 $(\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) \in M^{\perp}$ 이라는 것이다. 따라서 어떤 $\mathbf{x} \in H$ 든 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{x} = \mathbf{m}_{0} + (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) \in M + M^{ \perp } $$

이제 유일성을 보이기 위해 $\mathbf{m}_{1} , \mathbf{m}_{2} \in M$, $z_{1} , z_{2} \in M^{\perp}$ 에 대해

$$ \mathbf{x} = \mathbf{m}_{1} + z_{1} = \mathbf{m}_{2} + z_{2} $$

라고 두자. 그러면

$$ \mathbf{m}_{1} - \mathbf{m}_{2} = z_{2} - z_{1} \in \left( M \cap M^{\perp} \right) = \left\{ \mathbb{0} \right\} $$

다시 말해

$$ \mathbf{m}_{1} - \mathbf{m}_{2} = \mathbb{0} \implies \mathbf{m}_{1} = \mathbf{m}_{2} \implies z_{2} = z_{1} $$

이고, $\mathbf{x}$ 를 나타내는 방법은 유일함을 알 수 있다.

따름정리


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p68-69 ↩︎

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