모레라의 정리 증명

모레라의 정리 증명

Proof of moreras Theorem

정리 1

함수 $f$ 가 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 연속이고 $\mathscr{R}$ 내부의 모든 폐경로 $\mathscr{C}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0$ 을 만족하면 $f$ 는 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이다.

설명

코시 정리의 역 정도로 생각할 수 있겠다. 재미있는 점은 원래 ‘미분가능하면 연속, 연속이면 적분가능’이 원래 해석학의 상식이라는 사실이다. 그런데 모레라의 정리는 오히려 적분을 통해 함수의 미분가능성을 판별하고 있으니 참으로 놀라운 정리가 아닐 수 없다.

증명

$\displaystyle F(z) = \int_{\gamma}^{z} f(w) dw$ 이라고 정의하자.

${{F(z+h) - F(z)}\over{h}} = {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw$ 이므로 $$ \left| {{F(z+h) - F(z)}\over{h}} - f(z) \right| = \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} (f(w) - f(z)) dw \right| $$ 여기서 $f$ 가 연속이라고 했으므로 주어진 $\varepsilon >0$ 에 대해 $$ |h|< \delta \implies |f(z+h) - f(z)| < \varepsilon $$ 을 만족시키는 $\delta$ 가 존재한다.

ML 보조정리: $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$과 $\mathscr{C}$ 의 길이 $L$ 에 대해 $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$

ML 보조정리에 의해 $$ \left| {{F(z+h) - F(z)}\over{h}} - f(z) \right| = \left| {{1} \over {|h|}} \int_{z}^{z+h} (f(w) - f(z)) dw \right| < {{1} \over {|h|}} \varepsilon |h| = \varepsilon $$ 따라서 $$ f(z) = \lim_{h \to 0} {{F(z+h) - F(z)} \over {h}} = F’(z) $$ 즉, $f$ 는 어떤 함수 $F$ 의 도함수다. 복소해석에서 한번 미분가능하면 무한번 미분가능하므로, $F$ 가 미분가능하면 $f$ 또한 미분가능하다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p92. ↩︎

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