단조 수렴 정리 증명

단조 수렴 정리 증명

정리 1

함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $f_{n} \nearrow f$ 을 만족한다고 하자. 그러면 $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm $$

설명

$f_{n} \nearrow f$ 이란 모든 $x$ 에 대해 $f_{n}(x) \le f_{n+1} (x)$ 이면서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} = f$ 인 것이다. 수식은 너무 쉽기 때문에 이 정리를 안다는 것은 ‘조건’을 정확하게 안다는 말이다. 유용성으로 따질 것 같으면 극한이 적분을 마음대로 드나들 수 있다는 뜻이니 두말 할 것도 없다.

증명

$f_{n} \le f$ 이므로 $$ \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm $$

파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 에 대해 $$\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

파투의 보조정리에 의해 $\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm$ 이고, 정리하면 $$\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ 그런데 당연히 $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm$ 이므로 $$\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm = \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm$$ 이어야한다.

따름정리

함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 거의 어디서나 $f_{n} \nearrow f$ 을 만족한다고 하자. 그러면 $$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm$$ 이고, 특히 $$ \int \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_{n} dm$$


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p84. ↩︎

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