민코프스키 부등식

민코프스키 부등식

정리

두 벡터 $\mathbf{x}= (x_{1} , x_{2} , \dots , x_{n} )$ , $\mathbf{y} = (y_{1} , y_{2} , \dots , y_{n} )$ 와 $1$보다 큰 실수 $p$ 에 대해 다음의 식이 성립한다.

$$ \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} $$

이를 민코프스키 부등식Minkowski’s inequality이라 한다.

설명

민코프스키 부등식은 $p$-놈의 정의에서 삼각부등식에 해당한다. 어떤 다른 증명방법이 또 있는지는 모르겠지만, 보통 하듯 횔더 부등식을 사용하면 순환논증이 되어버린다. 이는 횔더 부등식을 기술할 때부터 $p$-놈이 정의된 것을 전제로 하기 때문인데, 본질적으로 횔더 부등식의 증명에는 이러한 놈의 성질이 필요하지 않으므로 적당히 표현을 고쳐야한다.

증명

삼각 부등식에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \le & \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} + \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \\ =& \left| \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| + \left| \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| \end{align*} $$

횔더 부등식

$\displaystyle {{1 } \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ 을 만족하는 두 상수 $p, q>1$ 와 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$에 대해

$$ \left| \sum_{k=1}^{n} u_{k} v_{k} \right| \le \left( \sum_{k=1}^{n} |u_{k}|^p \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{k=1}^{n} |v_{k}|^q \right)^{{1} \over {q}} $$

횔더 부등식에 의해 다음과 같다.

$$ \left| \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| + \left| \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| \\ \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{(p-1)q} \right)^{{1}\over{q}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{(p-1)q} \right)^{{1}\over{q}} $$

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ 이므로 $(p-1)q = p$ 이고 다시 정리하면 다음과 같다.

$$ \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \le \left[ \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \right] \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1}\over{q}} $$

양변을 $\left( \sum \limits_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1}\over{q}}$로 나누면 다음과 같다.

$$ \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \right) ^{1 - {{1} \over {q}}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} $$

이때 $1 - \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{p}$이므로 아래의 결과를 얻는다.

$$ \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} $$

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