르벡공간에서의 민코프스키 부등식 증명

르벡공간에서의 민코프스키 부등식 증명

Proof of Minkowski's Inequality in Lebesgue Space

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $1 \le p < \infty$이고 $u, v \in L^{p}(\Omega)$이면,

$$ \left\| u + v \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{p}+\left\| v \right\|_{p} $$

이를 민코프스키 부등식Minkowski inequality이라 한다.

설명

$\left\| \cdot \right\|_{p}$가 삼각 부등식을 만족하여 이 되고, $L^{p}$ 공간놈 공간이 된다는 의미를 갖는다.

증명

$p=1$인 경우에는 적분의 성질에 의해 자명하게 성립한다.

$$ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| dx \le \int_{\Omega} \left| u(x) \right| dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| dx $$

$1 \lt p \lt \infty$라고 하자. $w$를 $w \ge 0$이고 $\left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1$인 함수라고 하자.

횔더 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$인 $1 \le p, p^{\prime} < \infty$에 대해서, 만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$이면

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

그러면 횔더 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx \le & \int_{\Omega} \left| u(x) \right| w(x) dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| w(x) dx \\ \le & \left\| u \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} + \left\| v \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \\ \le & \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} \end{align*} $$

따라서 다음의 식이 성립한다.

$$ \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$

횔더 부등식의 역: $L^{p}$ 함수일 충분조건

$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$가 성립하면, $$ u\in L^{p}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{p} = \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} $$

위의 정리에 의해서,

$$ \left\| u + v \right\|_{p} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} $$

같이보기


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p25-26 ↩︎

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