최단 벡터 정리 증명

최단 벡터 정리 증명

정리1

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$를 힐베르트 공간이라고 하자. $M \lneq H$ 을 공집합이 아닌 닫힌 컨벡스 부분공간이라고 하자. 그러면 $\mathbf{x} \in ( H \setminus M)$ 에 대해

$$ \delta := \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \| = \inf_{\mathbf{m} \in M} \| \mathbf{x} - \mathbf{m} \| > 0 $$

을 만족하는 $\mathbf{m}_{0} \in M$가 유일하게 존재한다.

설명

부분공간$M$ 이 컨벡스하다는 것은 모든 $\mathbf{x},y \in M$ 과 $\lambda \in [0,1]$ 에 대해 다음이 성립한다는 것이다.

$$ \lambda \mathbf{x} + (1-\lambda) y \in M $$

별 거 없어보이지만 가만 생각해보면 당연한 것만도 아닌 게, 그냥 일반적인 위상공간이라면 $\mathbf{m}_{0}$ 이 유일할 이유가 없다.

20181119\_041823.png

간단하게 도식화해서 생각해보자면 위 그림에서 오른쪽의 부분공간 $M$ 이 꽤 단순하게 생겼기 때문에 이 정리가 성립하는 것이다.

한편 증명을 보면 알 수 있듯이, 힐베르트 공간이 아닌 내적공간에 대해서는 성립하지 않는다.

증명


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p67-68 ↩︎

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