가비의 리 증명

가비의 리 증명

정리

$bdf(b+d)\neq 0$ 이면 $$ \frac { a }{ b }=\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f } \implies \frac { a+c }{ b+d }=\frac { e }{ f } $$

설명

‘가비’는 다른 게 아니라 두 한자 더할 가加 견줄 비比로 만들어진 단어다 여기서 견줄 비는 ‘비율’할때의 그 비로, 이름에 모든 게 함축된 정리다.

증명

$$ \frac { a }{ b }=\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f } $$

이므로 $\frac { a }{ b }=\frac { e }{ f }$ 이고 $\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f }$ 이다. $\frac { a }{ b }=\frac { e }{ f }$ 의 양변에 $bf$ 를 곱하면

$$ \frac { c }{ d }=\frac { e }{ f } $$

이고, $\frac { c }{ d }=\frac { e }{ f }$ 의 양변에 $df$ 를 곱하면

$$ cf=de $$

위에서 얻은 두 식의 양변끼리를 더하면

$$ (a+c)f=(b+d)e $$

양변을 $(b+d)f$ 로 나누면

$$ \frac { a+c }{ b+d }=\frac { e }{ f } $$

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