위상공간에서 최대최소값 정리 증명

위상공간에서 최대최소값 정리 증명

정리 1

컴팩트 공간 $X$ 에 대해 함수 $f : X \to \mathbb{R}$ 가 연속이면 모든 $x \in X$ 에 대해 $f(c) \le f(x) \le f(d)$ 을 만족하는 $c,d \in X$ 가 존재한다.

설명

$\mathbb{R}$ 에서 컴팩트란 폐구간 $[a,b]$ 인 것과 동치이므로 결국 우리가 고등학교, 해석학 때 배운 정리의 일반화가 된다. 위상수학의 어려운 이론들을 사용하는만큼 증명은 오히려 간단하고 쉽다.

증명

컴팩트 공간에 대한 보조정리: $f : X \to Y$ 에 대해 $X$ 가 컴팩트, $f$ 가 연속이라고 하자.

  • [1]: $f$ 가 전사면 $Y$ 는 컴팩트다. $f$ 가 전사가 아니더라도 $f(X)$ 는 컴팩트다.
  • [2]: $Y$ 가 하우스도르프면 $f$ 는 닫힌 함수다. 닫힌 집합 $C \subset X$ 에 대해 $f(C) \subset Y$ 는 닫힌 집합이다.

$f(X)$ 는 컴팩트므로, 열린 커버 $\mathcal{O} := \left\{ (-n,n) \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 에 대해 $$ \displaystyle f(X) \subset \bigcup_{n=1}^{m} (-n , n) \subset \mathcal{O} $$ 를 만족하는 $m$ 이 존재한다. 보조정리 [1]에 의해 $f(X)$ 는 유계고, $\mathbb{R}$ 은 하우스도르프 공간이므로 보조정리 [2]에 의해 전체집합 $X \subset X$ 의 이미지 $f(X)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫힌 집합이다. $f(X)$ 가 유계이므로 완비성 공리에 의해 $$ u := \sup f(X) \\ l : = \inf f(X) $$ 가 존재한다. $f(X)$ 가 닫힌 집합이므로 $$ u, l \in f(X) \\ f(c) = l \\ f(d) = u $$ 를 만족하는 어떤 $c,d \in X$ 가 존재해야한다. 이 $c,d$ 는 모든 $x \in X$ 에 대해 $f(c) \le f(x) \le f(d)$ 를 만족시킨다.

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  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p174. ↩︎

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