마코프 부등식 증명

마코프 부등식 증명

Proof of markovs inequality

정리 1

확률변수 $X$ 에 대해 함수 $u(X) \ge 0$ 를 정의하자. $E \left( u(X) \right)$ 가 존재하면 $c > 0$ 에 대해 $$ P(u(X) \ge c) \le {E \left( u(X) \right) \over c} $$

설명

수많은 증명에 사용되는 보조정리로써 이를 좀 더 편리하게 만든 체비셰프 부등식이 있다.

조건에서 $1$차 적률이 존재해야하는 것을 보고 너무 쉽고 당연한 조건으로 여길지 모르겠다. 뭐 어느정도는 맞는 말이지만, 학부생 정도 됐다면 그 존재성이라는 게 아주 당연하지는 않다는 팩트 정도라도 알아두자.

증명

전략: 적분 범위를 $c$ 를 기준으로 두 개로 나누고 대소관계만 이용해서 쉬운 형태로 바꾼다. 본 증명은 연속확률분포에 대한 것이지만, 같은 방법으로 이산확률분포에 대해서도 증명이 가능하다.


집합 $A := \left\{ x : u(x) \ge c \right\}$ 와 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f$ 를 정의하자.

$\mathbb{R} = A \cup A^c$ 이므로 $$ E(u(X)) = \int _{-\infty} ^{\infty} u(x)f(x)dx = \int _{A} u(x)f(x)dx + \int _{A^c} u(x)f(x)dx $$ $u(x)f(x) \ge 0$ 이면 $\displaystyle \int _{A^c} u(x)f(x)dx \ge 0$ 이므로 $$ E(u(X)) \ge \int _{A} u(x)f(x)dx $$ $u(x) \ge c$ 이므로 $$ E(u(X)) \ge c \int _{A} f(x)dx $$ $\displaystyle \int _{A} f(x)dx = P(X \in A) = P(u(X) \ge c)$ 이므로 $$ E(u(X)) \ge c P(u(X) \ge c) $$ 양변을 $c$ 로 나누면 $$ {E(u(X)) \over c} \ge P(u(X) \ge c) $$


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p68. ↩︎

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