복소해석에서의 리우빌의 정리 증명

복소해석에서의 리우빌의 정리 증명

정리 1

$f$ 가 전해석함수고 모든 $z \in \mathbb{C}$ 에 대해 $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$ 이 존재하면 $f$ 는 상수함수다.

설명

$f$ 가 전해석함수이라는 말은 복소평면 전체에서 해석적이라는 뜻이다. 대우명제로 말하자면 상수함수가 아니면 그 절댓값이 유계Bounded가 되지 않는다는 뜻이다. 예로써 $\sin$ 은 정의역이 실수집합일 땐 자명하게도 $-1$ 과 $1$ 에 바운드되어있지만, 복소해석에서는 $$ | \sin i | = | i \sinh 1 | = \sinh 1 > 1 $$ 이므로 바운드 되어있지 않을 수도 있음을 알 수 있다.

증명

$\mathscr{C}$ 을 반지름이 $r$ 이고 중심이 $\alpha$ 인 원$ | z - \alpha | = r$ 이라고 생각하자. $f$ 는 전해석함수이므로 모든 점 $z=\alpha$ 에서의 미분계수 $f'(\alpha)$ 를 생각해볼 수 있다.

코시 적분 공식: $$\displaystyle f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz$$

미분에 대해 일반화한 코시 적분 공식에서 $n=1$ 이면 $$ \displaystyle |f'(\alpha)| = {{1} \over {2 \pi}} \left| \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z- \alpha)^{2} }} dz \right| $$

ML 보조정리: $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$과 $\mathscr{C}$ 의 길이 $L$ 에 대해 $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$

$|f(z)| \le M$ 이므로 $\displaystyle \left| { {f(z)} \over { (z - \alpha)^2 } } \right| \le { {M} \over {r^2} }$ 이고 원$ | z - \alpha | = r $ 의 둘레가 $2 \pi r$ 이므로 ML 보조정리를 사용하면 $$ \displaystyle |f'(\alpha)| = {{1} \over {2 \pi}} \left| \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z- \alpha)^{2} }} dz \right| \le {{1} \over {2 \pi}} \left( { {M} \over {r^2} } \right) 2 \pi r = { {M} \over {r} } $$ 위 부등식은 어떤 $r>0$ 에 대해서든 모두 성립하므로, $|f'(\alpha)| = 0$ 즉 $f'(\alpha) = 0$ 이다. 모든 점 $z=\alpha$ 에서 $f'(\alpha) = 0$ 이므로 $f$ 는 상수함수다.

같이보기


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p94. ↩︎

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