리-요크 정리 증명

리-요크 정리 증명

정리

연속 맵 $f: [a,b] \to [a,b]$ 의 피리어딕-$3$ 오빗이 존재하면 $f$ 는 캐어릭하다.

설명

리-요크 정리Li-Yorke Theorem삼주기 정리Period-$3$ Theorem라도 불리며, 피리어딕-$3$ 가 혼돈을 야기한다는 스테이트먼트 자체로도 많이 언급된다. 물론 이 정리만 보면 $1$차원 맵에 한정되어 있지만 고작 피리어딕-$3$ 오빗의 존재성이 모든 피리어딕 오빗의 존재성을 보장하는 것은 수학적으로 보았을 때 아주 놀라운 일이다. 보통 수학에는 $n$ 에 대해서 어떤 성질이 성립한다면 고작 그 약수, 배수, 그보다 작은 수에 대해서 성립하는 정도가 많기 때문이다.

역사

리-요크 정리를 일반화한 정리로써 샤르코우스키 정리가 있는데, 실제로는 리-요크의 논문이 1975년에 발표되었고 샤르코우스키의 논문이 1964년에 발표되었으므로 거꾸로 리-요크 정리가 샤르코우스키 정리의 특수화라고 보는 게 맞다. 냉전시대 때문에 샤르코우스키의 업적은 세상에 늦게 알려졌고, 알려졌을 때는 이미 리-요크 정리가 카오스 이론의 중심적인 정리로 자리를 잡은 상태였다.

증명

전략: 하필 피리어딕-$3$ 오빗이 필요한 이유는 가령 세 개의 피리어딕 포인트 $x_{0} < x_{1} < x_{2}$ 가 있다면 공간을 $L=[x_{0} , x_{1}]$ 과 $R=[x_{1} , x_{2} ]$ 두 파트로 나눌 수 있기 때문이다. 피리어딕-$m$ 오빗이 존재한다는 걸 보이기 위해서 어떤 고정점 $p$ 가 왼쪽 $L$ 에서 시작해 $f(p) , f^2 ( p) , \cdots , f^{m-1} (p)$ 은 $R$ 에서 머물다 마지막에 $f^{m} (p)$ 만 $L$ 로 돌아오도록 하는 서브인터벌의 시퀀스를 찾을 것이다.


Part 1. 폐구간 $I,I'$ 에 대해 $I' \subset f(I)$ 이라고 하면 $f(S) = I'$ 를 만족하는 서브인터벌 $S \subset I$ 가 존재한다.

$I'$ 는 폐구간이므로 최대최소값 정리중간값 정리에 의해 $f(s_{0}) = \min I'$ 와 $f(s_{1}) = \max I' $ 을 만족하는 $s_{0} , s_{1} \in I$ 이 존재한다. 이에 대해 $s_{0}$ 와 $s_{1}$ 을 포함하는 최소한의 폐구간을 $S$ 라고 하면 $S \subset I$ 은 $f$ 의 연속성에 의해 $f(S) = I'$ 를 만족한다.


Part 2. $I_{0} \subset f ( I_{0} )$ 이면 $I_{n} \subset I_{0}$ 과 $I_{n-1} = f ( I_{n} )$ 를 만족하는 폐구간의 시퀀스 $\left\{ I_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 존재하고 $I_{0} = f^{n} ( I_{n} )$ 이 성립한다.

$n=1$ 인 경우 Part 1에 의해 $I_{0} = f(I_{1})$ 을 만족하는 $I_{1} \subset I_{0}$ 이 존재한다.

$n>1$ 인 경우 $I_{n} \subset I_{0}$ 과 $I_{n-1} \subset f ( I_{n} )$ 가 성립한다고 가정해보자. 그러면 $I_{n} \subset I_{0} \subset f ( I_{0} )$ 이므로 Part 1에 의해 $I_{n} = f(I_{n+1})$ 을 만족하는 $I_{n+1} \subset I_{0}$ 이 존재하고, 수학적 귀납법에 의해 시퀀스 $\left\{ I_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 존재한다.

한편 재귀적으로 포함관계를 풀어보면 $$ I_{0} = f ( I_{1} ) = f \left( f(I_{2} ) \right) = f^{2} ( I_{2} ) = \cdots = f^{n} ( I_{n} ) $$ 이므로 $I_{0} = f^{n} ( I_{n} )$ 을 얻는다.


Part 3. $f^{m}$ 은 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 고정점을 갖는다.

$[a,b]$ 의 세 점 $x_{0} < x_{1} < x_{2}$ 가 $x_{1} := f(x_{0})$ 와 $x_{2} := f^{2} (x_{0} )$ 를 만족하는 $f$ 의 피리어딕-$3$ 오빗이라고 하자. 그리고 편의상 $L := [x_{0} ,x_{1} ]$ 을 왼쪽Left , $R := [x_{1} , x_{2}]$ 을 오른쪽Right이라 정의하자.

중간값 정리의 고정점 정리 폼: $I \subset f (I)$ 이면 연속함수 $f$ 는 $I$ 에서 고정점을 가진다.

중간값 정리의 고정점 정리 폼에 의해 $f^{m}$ 에 대해 $I \subset f^{m} (I)$ 를 만족하는 구간 $I$ 가 존재함을 보이면 고정점도 존재한다.

모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $f^{m}$ 은 $L$ 에서 고정점을 가지는데, 이 고정점을 $p \in I_{m-1} \subset L$ 이라고 하자.


위의 Part 1.~Part 3. 을 정리하면 $f$ 는 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 피리어딕-$m$ 오빗을 가지므로 캐어릭하다.

참고로 Part 1에서 증명된 보조정리는 주어진 이미지 $I'$ 에 대한 프리이미지 $S$ 를 구해주기 때문에 프리이미지 렘마 라고도 불린다.

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