확률론에서의 레비 정리 증명

확률론에서의 레비 정리 증명

정리

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 가 주어져있다고 하자.

$\eta$ 가 적분 가능확률 변수고 $\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}$ 인 시그마 필드의 시퀀스면 $n \to \infty$ 일 때 $$ E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \to E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right) $$

설명

측도론에서의 레비 정리와 달리 피적분 함수는 가만히 있고 시그마 필드가 넓어지는데, 그 본질은 크게 다르지 않다.

증명

전략: 딘킨의 파이-람다 정리와 확률과정론에서 레귤러 마틴게일의 성질을 끌어와야한다. 주의할 점으로, 가정에서 $\eta$ 는 단지 적분가능한 확률변수로 주어졌을 뿐 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이 아니므로 모든 $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ 에 대해 $\int_{A} X_{\infty} dP = \int_{A} \eta dP$ 라고 해서 거의 확실히 $X_{\infty} = \eta$ 라는 식의 주장을 할 수 없다. 물론 조건부 기대값의 성질에서 $E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 는 $\eta$ 가 무엇이든 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이고, 실제로 보일 등식 역시 $X_{\infty} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ 가 된다.


Claim: $X_{n} : = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ 과 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측인 확률 변수 $\displaystyle X_{\infty} := \lim_{n \to \infty} X_{n}$ 을 정의하자. $X_{\infty} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 를 보이면 된다.


Part 1. $E(X_{\infty} | \mathcal{F}_{n}) = X_{n}$

$X_{n}$ 의 정의에 따라 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 레귤러 마틴게일이다. 따라서 균등적분가능 마틴게일이고, $\mathcal{L}_{1}$ 수렴 마틴게일이 되어 $X_{n}$ 은 $X_{\infty}$ 로 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴한다. 또한 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 은 클로저블 마틴게일이므로 $E(X_{\infty} | \mathcal{F}_{n}) = X_{n}$ 을 얻는다.

이제 딘킨의 파이-람다 정리를 사용하기 위해 다음의 정의를 소개한다.

파이 시스템과 람다 시스템:

  1. 다음을 만족하는 $\mathcal{P}$ 을 $\pi$-시스템이라고 한다. $$ A, B \in \mathcal{P} \implies A \cap B \in \mathcal{P} $$
  2. 다음의 조건들을 만족하는 $\mathcal{L}$ 을 $\lambda$-시스템이라고 한다.
  • (i): $\emptyset \in \mathcal{L}$
  • (ii) $A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}$
  • (iii) 모든 $i \ne j$ 에 대해 $\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ 일 때 $$\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}$$

Part 2. $\displaystyle \mathcal{L} := \left\{ A \in \mathcal{F} : \int_{A} X_{\infty} dP = \int_{A} \eta dP \right\}$ 은 람다 시스템


Part 3. $\displaystyle \mathcal{P} := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n}$ 는 파이 시스템

$\displaystyle A, B \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n}$ 이면 어떤 $n_{1}, n_{2} \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ A \in \mathcal{F}_{n_{1}} \\ B \in \mathcal{F}_{n_{2}} $$ 따라서 $$ (A \cap B) \in \mathcal{F}_{\max \left\{ n_{1} , n_{2} \right\} } \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n} $$


Part 4. $\displaystyle \mathcal{P} \subset \mathcal{L}$

$\displaystyle A \in \mathcal{P} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n}$ 라는 것은 $A \in \mathcal{F}_{n_{0}}$ 를 만족하는 어떤 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 가 존재한다는 것이다. 그러면 Part 1.에서 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 마틴게일이었으므로 $$ \begin{align*} \int_{A} X_{m} dP =& \int_{A} E ( X_{m}| \mathcal{F}_{n_{0}} ) dP \\ =& \int_{A} X_{n_{0}} dP \\ =& \int_{A} E \left( \eta | \mathcal{F}_{n_{0}} \right) dP \\ =& \int_{A} \eta dP \end{align*} $$ 따라서 $$ \begin{align*} \left| \int_{A} X_{m} dP - \int_{A} X_{\infty} dP \right| \le & \int_{A} \left| X_{m} - X_{\infty} \right| dP \\ \le & E | X_{m} - X_{\infty} | \end{align*} $$ 이다. 여기서 $\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 는 $\mathcal{L}_{1}$ 수렴하는 마틴게일이므로 $m \to \infty$ 일 때 $E| X_{m} - X_{\infty}| \to 0$ 이고 $$ \lim_{m \to \infty} \int_{A} X_{m} dP = \int_{A} X_{\infty} dP $$ 그리고 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ \int_{A} X_{m} dP = \int_{A} E \left( \eta | \mathcal{F}_{m} \right) dP = \int_{A} \eta dP $$ 이므로 $$ \begin{align*} \int_{A} X_{\infty} dP =& \lim_{m \to \infty} \int_{A} X_{m} dP \\ =& \lim_{m \to \infty} \int_{A} \eta dP \\ =& \int_{A} \eta dP \end{align*} $$ 따라서 $\mathcal{L}$ 의 정의에 따라 $A \in \mathcal{L}$ 이다. 정리하면 $$ A \in \mathcal{P} \implies A \in \mathcal{L} \\ \mathcal{P} \subset \mathcal{L} $$


Part 5.

딘킨의 파이-람다 정리: 파이 시스템 $\mathcal{P}$ 가 람다 시스템 $\mathcal{L}$ 의 부분집합이면 $\mathcal{P} \subset \sigma ( \mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}$ 을 만족하는 시그마 필드 $\sigma ( \mathcal{P} )$ 가 존재한다.

$$ \begin{align*} \sigma \left( \mathcal{P} \right) =& \sigma \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& \bigotimes_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n} \\ =& \mathcal{F}_{\infty} \end{align*} $$ 딘킨의 파이-람다 정리에 따라 다음을 만족하는 시그마 필드 $\mathcal{F}_{\infty}$ 가 존재한다. $$ A \in \mathcal{F}_{\infty} \implies \int_{A} X_{\infty} d P = \int_{A} \eta dP $$ 그러면 모든 $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ 에 대해 $$ \int_{A} X_{\infty} d P = \int_{A} \eta dP = \int_{A} E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right) dP $$ 이다. $X_{\infty}$ 와 $E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 는 $\mathcal{F}_{\infty}$-가측이므로 르벡 적분의 성질에 따라 거의 확실히 $X_{\infty} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right)$ 다. 그러면 처음에 $X_{n}$, $X_{\infty}$ 를 정의한대로 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) =& \lim_{n \to \infty} X_{n} \\ =& X_{\infty} \\ =& E \left( \eta | \mathcal{F}_{\infty} \right) \end{align*} $$

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