랑크레 정리 증명

랑크레 정리 증명

Proof of lancret Theorem

정리 1

$\kappa \ne 0$ 인 단위 스피드 커브 $\alpha$ 가 나선인 것은 어떤 상수 $c \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\tau = c \kappa$ 인 것과 동치다.


증명

나선의 정의: 정칙 곡선 $\alpha$ 가 어떤 픽스된 단위 벡터 $\mathbf{u}$ 에 대해 $\left< T, \mathbf{u} \right>$ 가 상수면 나선Helix이라 하고, $\mathbf{u}$ 를 Axis라 부른다.

보조정리: $n$차원 내적공간 $V$ 에서 $E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 이 직교 집합이라고 하면 $E$ 는 $V$ 의 기저고, 모든 $v \in V$ 에 대해 $$ v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k} $$

내적의 미분법: $$\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>$$

프레네-세레 공식: $\alpha$ 가 $\kappa(s) \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하면 $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa(s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau(s) N(s) \end{align*} $$


$(\implies)$

$\alpha$ 가 나선이니 어떤 픽스된 축 $\mathbf{u}$ 에 대해 $\left< T , \mathbf{u} \right>$ 는 상수다. 이를 구체적으로 픽스된 각도 $\theta$ 에 대해 다음과 같이 나타내자. $$ \left< T , \mathbf{u} \right> = \cos \theta $$ 만약 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\theta = n \pi$ 라 하면 $$ \left< T , \mathbf{u} \right> = \pm 1 \implies T = \pm \mathbf{u} $$ 즉 $T$ 가 상수이므로 $\alpha$ 는 직선이고, $\kappa = 0$ 이므로 가정에 모순이 되어 $\theta \ne n \pi$ 이어야한다.

$$ \pm 1 \ne \cos \theta = \left< T, \mathbf{u} \right> $$ 위 식에 내적의 미분법을 쓸 것이다. $\mathbf{u}$ 는 상수이므로 $\mathbf{u}^{\prime} = 0$ 이고 프레네-세레 공식에 따라 $$ \begin{align*} 0 =& \left< T, \mathbf{u} \right>^{\prime} \\ =& \left< T^{\prime}, \mathbf{u} \right> + \left< T, \mathbf{u}^{\prime} \right> \\ =& \left< \kappa N, \mathbf{u} \right> + \left< T, 0 \right> \\ =& \kappa \left< N, \mathbf{u} \right> \end{align*} $$ $\kappa \ne 0$ 를 가정했으므로 $\left< N, \mathbf{u} \right> = 0$ 이어야한다. 보조정리에 따라 $$ \begin{align} \mathbf{u} =& \left< \mathbf{u} , T \right> T + \left< \mathbf{u} , N \right> N + \left< \mathbf{u} , B \right> B \\ =& \cos \theta T + \left< \mathbf{u} , B \right> B \end{align} $$ 양변을 제곱하면 $|T|^{2} = \left| \mathbf{u} \right| = 1$ 이고 $T \perp B \implies \left< T, B \right> =0$ 이므로 $$ \begin{align*} 1 =& \left| \mathbf{u} \right|^{2} \\ =& \cos^{2} \theta |T|^{2} + 2 \cos \theta \left< \mathbf{u} , B \right> \left< T, B \right> + \left< T, B \right>^{2} \\ =& \cos^{2} \theta + \left< T, B \right>^{2} \end{align*} $$ $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$ 이므로 $$ \left< \mathbf{u} , B \right>^{2} = \sin^{2} \theta $$ 다시 $(2)$ 로 돌아가보면 결국 다음을 얻는다. $$ \mathbf{u} = \cos \theta T +\sin \theta B $$ 양변을 미분하면 프레네-세레 공식에 따라 $$ \begin{align*} 0 =& \mathbf{u}^{\prime} \\ =& \cos \theta T^{\prime} + \sin \theta B^{\prime} \\ =& \cos \theta \kappa N + \sin \theta (-\tau N) \\ =& \left( \kappa \cos \theta - \tau \sin \theta \right) N \end{align*} $$ $N$ 는 $0$ 이 아니므로 $\kappa \cos \theta - \tau \sin \theta$ 이 $0$ 이어야하고, $\theta \ne n \pi$ 이므로 $\sin \theta \ne 0$ 일 순 없다. 따라서 $$ \kappa {{ \cos \theta } \over { \sin \theta }} = \tau $$ $\theta$ 는 픽스된 값이므로 토션은 $\tau = \kappa \cot \theta$ 와 같이 곡률의 상수배로 나타남을 보였다.


$(\impliedby)$

어떤 상수 $c$ 에 대해 $\tau = c \kappa$ 라 하자. 어떤 $0 < \theta < \pi$ 에 대해 $c := \cot \theta$ 라 두면 $$ \tau = \cot \theta \kappa $$ 벡터 $\mathbf{u}$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ \mathbf{u} := \cos \theta T + \sin \theta B $$ 잉변을 미분해보면 프레네-세레 공식에 따라 $$ \begin{align*} \mathbf{u}^{\prime} =& \cos \theta T^{\prime} + \sin \theta B^{\prime} \\ =& \cos \theta \kappa N + \sin \theta ( - \tau N) \\ =& \left( \cos \theta \kappa - \sin \theta \tau \right) N \\ =& \left( \cos \theta \kappa - \sin \theta {{ \cos \theta } \over { \sin \theta }} \kappa \right) N \\ =& 0 \end{align*} $$ 따라서 $\mathbf{u}$ 는 상수고, $\alpha$ 가 단위 스피드 커브이므로 $$ \left< T, \mathbf{u} \right> = \left< T, \cos \theta T + \sin \theta B \right> = \cos \theta \cdot 1 + 0 $$ 즉 $\left< T, \mathbf{u} \right>$ 는 상수고 $\alpha$ 는 나선이다.


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p32. ↩︎

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