라그랑주의 정리 증명

라그랑주의 정리 증명

정리 1

$H$ 가 유한군 $G$ 의 부분군이면 $|H|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

증명

모든 잉여류들은 모두 같은 수만큼의 원소를 갖는다. $H$ 역시 $G$ 의 잉여류 중 하나이므로, $H$ 의 잉여류들의 기수Cardinality는 $|H|$ 이다. 잉여류들은 $G$ 의 분할을 이루므로 모든 잉여류들의 기수를 더하면 $|G|$ 이다. $H$ 의 잉여류의 갯수 $( G : H )$ 를 $r$ 이라고 하면 $$ |G| = |H| + \cdots |H| = r |H| $$ 따라서 $|H|$ 는 $|G|$ 의 약수다.

설명

조금 생각해보면 상식적으로 성립할 수밖에 없고 증명도 그에 걸맞게 간단하다.

따름정리

유한군 $G$ 에 대해 $|G|$ 가 소수면 $G$ 는 순환군이다.

라그랑주 정리의 따름정리로써 위의 사실을 알 수 있다. 이 따름정리는 역이 성립하지 않는데, 구체적으로 반례가 있다.

반례

교대군 $A_{4}$ 은 라그랑주 정리의 역에 대한 반례다.

역이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle | A_{4} | = {{4!} \over {2}} = 12$ 이므로 $|H| = 6$ 를 만족하는 $H \leqslant A_{4}$ 가 존재할 것이다.

$H$ 는 군이므로 $\alpha \in H$ 면 $\alpha^2 \in H$ 여야한다.

$(1,2,3)^2 = (1,3,2)$ 이고 $(1,3,2)^2 = (1,2,3)$ 이므로 $(1,2,3) , (1,3,2) \in H$ 이다. 이런 식으로 $H$ 에 속하는 원소를 더 찾아보면 $(1,2,4) , (1,4,2)$ 와 $(1,3,4) , (1,4,3)$ 그리고 $(2,3,4) , (2,4,3)$ 이 있다. 이미 원소의 갯수가 $6$ 를 넘었으므로 $|H| \ne 6$ 이다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p100. ↩︎

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