조르당 보조정리 증명

조르당 보조정리 증명

정리 1

반원호 $\Gamma$ 를 $z(\theta) = R e^{i \theta} , 0 \le \theta \le \pi$ 와 같이 나타냈을 때, 함수 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\Gamma$ 에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$ 이면 양수 $m \in \mathbb{R}^{+}$ 에 대해 $$ \displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0 $$

설명

조르당이라는 발음법은 콩글리쉬가 아니라 프랑스어에서 온 것이다. 보조정리이니만큼 바로 그 의미를 깨닫긴 어렵고, 여러가지 적분 테크닉에 쓰인다는 정도만 알아두면 충분하다. 증명은 따분해보이지만 의외로 별 거 없으니까 한번 정도는 제대로 공부해보는것도 나쁘지 않다.

증명

$$ \begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| &= \left| \int_{0}^{\pi} e^{m i z} dz \right| \\ \le & \int_{0}^{\pi} \left| e^{m i R \cos{\theta}} \right| \left| e^{- m R \sin{\theta}} \right| \left| i R e^{i \theta} \right| d \theta \\ =& R \int_{0}^{\pi} e^{-m R \sin \theta} d \theta \\ =& 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R \sin \theta} d \theta \end{align*} $$ $\displaystyle \theta \in \left[ 0 , {{\pi} \over {2}} \right]$ 에 대해 $\displaystyle {{2} \over {\pi}} \theta \le \sin{\theta}$ 이고 $\displaystyle e^{-m R \sin \theta} \le e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta }$ 이므로 $$ \begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| \le & 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} d \theta \\ =& 2R \left[ - {{ \pi } \over { mR 2 }} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} \right]_{0}^{ \pi / 2} \\ =& {{\pi} \over {m}} (1 - e^{-mR} ) \\ <& {{\pi} \over {m}} \end{align*} $$ 가정에서 $f$ 는 $\Gamma$ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$ 이므로 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해서 $$ \displaystyle \left| {{1} \over {z}} \right| < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon $$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재할 것이다. $\Gamma$ 상에서 $|z|=R$ 이므로, $R$ 에 대해서 정리하면 $$ \displaystyle {{1} \over {R}} < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon $$ 즉 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해서 $$ \displaystyle {{1} \over {R}} < \delta \implies \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz \right| < \varepsilon \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| < {{ \varepsilon \pi} \over {m}} $$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재한다. 따라서 $$ \displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0 $$


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p166. ↩︎

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