등주 부등식 증명

등주 부등식 증명

정리 1

길이가 $L$ 인 평면 정칙 단순 폐곡선 $\alpha$ 가 있다고 하자.

$\alpha$ 로 둘러싸인 내부의 면적을 $A$ 라 하면 $$ L^{2} \ge 4 \pi A $$ 이다. 특히, $L^{2} = 4 \pi A$ 가 되는 조건은 $\alpha$ 가 원인 것이다.

설명

사실 이 정리가 말하는 팩트 자체는 직관적으로든 어떻든 많은 사람들에게 알려져있다. 물방울이 굳이 각지지 않고 둥글게 맺히는 물리적인 이유는 모르더라도, 수많은 자연현상 속에서 원을 접하기 때문이다.

부등식의 이름인 등주等周는 둘레가 일정함을 의미로, 등주 부등식은 “둘레가 $L$ 으로 일정할 때 언제 내부의 넓이가 가장 넓어지는가?“에 대한 대답 그 자체다.

증명

Part 0. 빌드업

$\alpha$ 의 탄젠트하고 평행인 두 직선 $l_{1} \parallel l_{2}$ 를 생각해보자. 이 두 직선에 동시에 접하는 반지름 $r>0$ 인 원 $\beta$ 의 중심 $O$ 에서 $l_{1}, l_{2}$ 에 평행한 방향을 $y$-축이라 두고 그에 수직한 방향을 $x$-축이라 둔다.

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이제 네 점 $A,B,C,D$ 을 찍을텐데, 그 중 $A,C$ 를 먼저 찍는다. $A = \alpha(0)$ 는 $\alpha$ 가 $l_{1}$ 과 접하는 점, $C = \alpha \left( s_{2} \right)$ 는 $\alpha$ 가 $l_{2}$ 과 접하는 점이다. 이에 공통된 매개변수 $s$ 에 대해 좌표를 주어 두 곡선을 표현하려 한다. 여기서 우리는 일반성을 잃지 않고, $\alpha$ 가 단위 스피드 곡선임을, 다시 말해 $\left\| \alpha^{\prime}(s) \right\| = 1$ 를 가정한다. $$ \alpha(s) = \left( x(s) , y(s) \right) \\ \beta(s) = \left( z(s) , w(s) \right) $$ 그러면 원 $\beta$ 의 좌표는 $s_{2}$ 를 기점으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \begin{align*} z(s) =& x(s) \\ w(s) =& \begin{cases} - \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } 0 \le s \le s_{2} \\ \sqrt{ r^{2} - x^{2} } & , \text{if } s_{2} \le s \le L \end{cases} \end{align*} $$ 세팅에서 $x$-축과 $x(s)$, $y$-축과 $y(s)$ 를 헷갈리지 않도록 주의하자. 축 이야기가 아니라 벡터로써 $x,y$ 를 다룰 땐 항상 $\alpha$ 의 좌표를 나타내는 $\left( x(s),y(s) \right)$ 로 읽어야 한다.


Part 1. $A + \pi r^{2} \le L r$

보조정리: 영역 $R$ 을 둘러싼 평면 단순 폐곡선 $\alpha$ 가 반시계방향으로 돈다고 하면 $$ V (R) = \int_{\alpha} x dy = - \int_{\alpha} y dx $$

위 보조정리에 따라 $\alpha$ 가 둘러싼 면적 $A$ 는 $$ \begin{align*} A =& \int_{\alpha} x dy \\ =& \int_{0}^{L} x {{ dy } \over { ds }} ds \\ =& \int_{0}^{L} x y^{\prime} ds \end{align*} $$ 이고, $\beta$ 는 원으로 정의되었으므로 그 면적 $B$ 는 $$ \begin{align*} B =& \pi r^{2} \\ =& - \int_{\beta} y dx \\ =& - \int_{0}^{L} w z^{\prime} ds \\ =& - \int_{0}^{L} w x^{\prime} ds \end{align*} $$ 이다. $A + B = A + \pi r^{2}$ 을 계산해보면 $$ \begin{align*} A + \pi r^{2} =& \int_{0}^{L} \left( x y^{\prime} - w x^{\prime} \right) ds \\ \le & \int_{0}^{L} \left| x y^{\prime} - w x^{\prime} \right| ds \\ =& \int_{0}^{L} \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| ds \end{align*} $$ 마지막 등호는 $x y^{\prime} - w x^{\prime}$ 를 내적으로 표현한 것이다.

코시-슈바르츠 부등식: $$ \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \ge \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> $$

코시-슈바르츠 부등식에 따르면 $\displaystyle \int_{0}^{L} \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| ds$ 의 피적분함수는 $$ \begin{align*} & \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| \\ \le & \left| \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right| \left| \left( -w , x \right) \right| \\ =& \sqrt{w^{2} + x^{2}} \\ =& r \end{align*} $$ 이므로 $$ \begin{align*} A + \pi r^{2} =& \int_{0}^{L} \left| \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( -w , x \right) \right> \right| ds \\ =& \int_{0}^{L} r ds \\ =& r L \end{align*} $$ 정리하면 다음을 얻는다. $$ A + \pi r^{2} \le r L $$


Part 2. $L^{2} \ge 4 \pi A$

산술평균과 기하평균 사이의 부등식: $$\sqrt{ab} \le {{ a + b } \over { 2 }}$$

위 산술평균과 기하평균 사이의 부등식에서 $a = A$ 이고 $b = B = \pi r^{2}$ 라 두면 Part 1에서 얻은 부등식에 따라

$$ \begin{equation} 2 \sqrt{\pi A r^{2}} \le A + \pi r^{2} \le L r \label{1} \end{equation} $$ 양끝변을 제곱하면 $$ 4 \pi A r^{2} \le L^{2} r^{2} $$ $r^{2}$ 을 소거하면 우리가 원하던 등주 부등식을 얻는다. $$ 4 \pi A \le L^{2} $$


**Part 3. 둘레가 일정할 때 내부면적이 최대가 되는 경우는 원이다.

**

$4 \pi A = L^{2}$ 이라고 가정했을 때 $\alpha$ 가 원임을 보이면 된다.

$4 \pi A = L^{2}$ 이라 가정했으므로, 부등식 $\eqref{1}$ 은 등식이 된다. 이는 첫번째와 두번째 변사이의 부등식, 즉 산술-기하 부등식 역시 등식이 되었다는 의미고, 산술-기하 등식이 되는 필요충분조건인 $a=b$ 에 따라 $A = B = \pi r^{2}$ 임을 알 수 있다. 한편 두번째변과 세번째 변 사이의 부등식, 코시슈바르츠 부등식 $\left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \ge \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right>$ 에서 등호를 성립시키는 필요충분조건은 어떤 상수 $c$ 에 대해 $\mathbf{x} = c \mathbf{y}$ 와 같이 나타나는 것이다. 다시 말해, 두 벡터 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ 가 같은 방향이거나 반대방향이어야하므로 어떤 상수 $c$ 에 대해 $$ \begin{equation} ( - w , x ) = c \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \label{2} \end{equation} $$ 다. 좌변은 원 $\beta$ 를 나타내는 벡터고 우변의 $\alpha$ 는 단위 스피드 커브로 가정했으므로 $$ r = \sqrt{w^{2} + x^{2}} = |c| \sqrt{(x^{\prime})^{2} + (y^{\prime})^{2}} = |c| $$ 즉 $c = \pm r$ 인데, $\eqref{2}$ 의 양변에서 각각 $\left( x^{\prime} , y^{\prime} \right)$ 와의 내적을 생각해보면 $\alpha$ 는 단위 스피드 커브로 가정했으므로 $$ \left< ( - w , x ), \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right> = c \left< \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) , \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right> = c \cdot 1 = c $$ 이다. Part 1에서 $\displaystyle \int_{0}^{L} \left( x y^{\prime} - w x^{\prime} \right) ds = A + \pi r^{2} > 0$ 이었으므로 $\left< ( - w , x ), \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right) \right> > 0$ 이고, $c = r$ 임을 알 수 있다. 그러면 $\eqref{2}$ 는 $c$ 대신 $r$ 로 나타내서 $$( - w , x ) = r \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right)$$ 가 되고, 벡터의 두번째 성분을 비교해 $x = ry^{\prime}$ 를 얻는다. 이는 적어도 지금과 같이 $l_{1}$ 과 $l_{2}$ 을 세팅하는 경우에 $x$ 와 $y$ 가 항상 수직임을 보장한다. 원의 반지름과 접선이 항상 수직을 이루는 모양을 떠올리면 좋다.

$A = \pi r^{2}$ 라는 것은 $r$ 이 $A$ 에 의존되고, $l_{1}$, $l_{2}$ 를 어떻게 선택하는지에는 의존되지 않음을 함의한다. 이제 Part 0에서 했던 방식과 비슷하되 $l_{1}, l_{2} \perp l_{3}, l_{4}$ 가 되도록 하는 $l_{3}$, $l_{4}$ 를 그에 접하는 원 $\gamma$ 를 생각하자. 20210429_185522.png 이러한 세팅에서 Part 3-1과 같은 방법으로 $\overline{x} = r \overline{y}^{\prime}$ 를 유도할 수 있다. 한편 $y$-축은 $\overline{x}$-축과 방향이 같고, $x$-축은 $-\overline{y}$-축과 방향이 같다. 방향이 같은 축들끼리는 평행하므로, 다음을 만족하는 상수벡터 $d,e \in \mathbb{R}^{2}$ 가 존재한다. $$ \begin{align*} \overline{x} =& y - d \\ \overline{y} =& e - x \end{align*} $$ 따라서 $$ y - d = \overline{x} = r \overline{y} = - r x^{\prime} $$ 이고 $$ x^{2} + \left( y - d \right)^{2} = \left( r y^{\prime} \right)^{2} + \left( -r x^{\prime} \right)^{2} = r^{2} \left( \left( x^{\prime} \right)^{2} + \left( y^{\prime} \right)^{2} \right) = r^{2} $$ 이다. 따라서 $\alpha$ 는 $xy$-좌표계에서 반지름 $r$ 이고 중심이 $(0, d)$ 인 원이어야한다.


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p64. ↩︎

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