오일러 상수 e는 무리수이다

오일러 상수 e는 무리수이다

정리

$$ e \notin \mathbb{Q} $$

$\mathbb{Q}$ 는 유리수의 집합을 나타낸다.

증명

매클로린 전개를 이용1

Strategy: 매클로린 전개를 통해 $e^{-1}$ 를 두 파트로 찢고 모순을 이끌어낸다. 매클로린 전개를 사용해야하기 때문에 고등학교 교과과정 내에서는 증명할 수 없다.


$\mathbb{N}$ 는 자연수의 집합, $\mathbb{Z}$ 는 정수의 집합을 나타낸다.

$e$ 의 정의를 이용2

오일러 상수의 정의

$$ e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} $$

$s_{n}$ 을 $e$ 의 부분합이라 하면, $e$ 의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} e - s_{n} =& \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+2)!} + \dfrac{1}{(n+3)!} + \cdots \\ &< \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)!(n+1)^{2}} + \cdots \\ =& \dfrac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \dfrac{1}{(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)^{2}} + \cdots\right) \\ =& \dfrac{1}{(n+1)!}\left( \dfrac{n+1}{n} \right) \\ =& \dfrac{1}{n! n} \end{align*} $$

이제 $e$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $e=\dfrac{p}{q}$를 만족하는 양의 정수 $p, q$가 존재하고, 위 식에 의해서 다음이 성립한다.

$$ 0 < q!(e - s_{q}) < \dfrac{1}{q} $$

가정에 의해 $q!e=(q-1)!p$ 는 정수이다. 또한

$$ q! s_{q} = q! \left( 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{q!} \right) $$

이므로 $q!s_{q}$도 정수이다. 따라서 $q!(e-s_{q})$ 는 정수이다. 그런데 $q\ge 1$이므로 $q!(e-s_{q})$ 는 $0$과 $1$사이의 정수라는 말이 된다. 이는 모순이므로 가정이 틀렸다. 따라서 $e$ 는 무리수이다.

같이보기


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p263-264 ↩︎

  2. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p65 ↩︎

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