복소해석에서 역함수 정리 증명

복소해석에서 역함수 정리 증명

정리 1

$f$ 가 $\alpha$ 에서 해석적이고 $f'(\alpha) \ne 0$ 이면 $\mathcal{N} (\alpha)$ 에서 $f^{-1}$ 가 존재한다.

설명

$f'(\alpha) \ne 0$ 이라는 조건을 잘 생각해보자.

실수함수로 생각해보면 증가함수거나 감소함수라는 것이고, 이는 역함수가 존재하는 조건이 된다. 기하적인 표현을 빌리자면 매끄러운Smooth 함수를 말하는 것이고, 이는 갑자기 방향을 트는 등의 꺾인 점이 없다는 뜻이다. 역함수 정리에서 주의해야할 것은 이러한 조건을 만족시켰더라도 그 역함수 자체가 존재하는 게 아니라 국지적인 한계가 있다는 것이다.

증명

$w \in \mathcal{N} (f(\alpha))$ 에 대해 $w = f(z)$ 가 유일한 해를 가짐을 보이면 된다.


$$ \beta := f(\alpha) \\ g(z) := f(z) - \beta $$ 이라고 두면 $g(\alpha) = 0$ 이고 $g'(\alpha) \ne 0$ 이다. 그 말인즉슨 $\alpha$ 는 $g$ 의 단순영점이며 $|z - \alpha | \le \rho$ 에서 $g(z) \ne 0$ 을 만족하는 $\rho >0$ 가 존재한다는 것이다.

원 $\mathscr{C}: |z - \alpha| = \rho$ 에 대해 $$ m := \min_{\mathscr{C}} |g(z)| \\ |\gamma| < m $$ 를 만족하는 $h(z) := -\gamma$ 를 정의하자. 그러면 $\mathscr{C}$ 에서 다음이 성립한다. $$ g(z) \ne 0 \\ |h(z) | = | - \gamma | = |\gamma| < m \le |g(z)|$$

로체의 정리: $g$ 와 $h$ 가 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 에서 해석적이고 $\mathscr{C}$ 상에서 $|h(z)| \le |g(z)|$ 을 만족하면 $g$ 와 $g + h$ 는 $\mathscr{C}$ 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.

로체의 정리에 의해, $g$ 와 $g + h = g - \gamma$ 는 $\mathscr{C}$ 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.

그런데 앞서 본 것과 같이 $g$ 는 단순영점 $\alpha$ 하나만을 갖고 있었으므로, $g(z) - \gamma = 0$ 을 만족하는 영점 역시 $\mathscr{C}$ 내부에서 오직 하나다. 정리하면 방정식 $g(z) = \gamma$ 가 $\mathscr{C}$ 의 내부에서 오직 하나의 해만을 갖는다고 말할 수 있다.

이제 $w = \beta + \gamma$ 라고 하면 $$ f(z) - \beta = w - \beta $$ 즉 $w = f(z)$ 가 $\mathscr{C}$ 의 내부 $\mathcal{N}(\alpha): |z - \alpha| < \rho$ 에서 유일한 해를 갖는다.

같이보기

-해석학에서의 역함수 정리


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p193. ↩︎

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