횔더 부등식

횔더 부등식

정의

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 $p, q$ 와 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$에 대해 다음의 부등식이 성립한다.

$$ | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | = |\mathbf{u} ^{\ast} \mathbf{v}| \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} $$

이를 횔더 부등식Hoelder’s inequality이라 한다.

설명

원래는 Hölder’s inequality로 써야하지만 움라우트가 있어 대체표기를 했다. $p$-놈과 $q$-놈이 한 데 섞여있는 것이 경이로운 부등식이다. 용도나 증명 방법 상 크게 관계는 없지만 $p=q=2$ 일 때 코시-슈바르츠 부등식이 된다.

증명

$\mathbf{u} = \mathbb{0}$ 혹은 $\mathbf{v} = \mathbb{0}$이면 자명하므로 둘 다 $\mathbb{0}$ 이 아닌 경우를 생각해보자.

영의 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ 을 만족하고 1보다 큰 두 상수 $p,q$와 두 양수 $a,b$ 에 대해

$$ ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}} $$

영의 부등식에 $a = \dfrac{ | u_{i} | }{|| \mathbf{u}||_{p} }, b = \dfrac{ | v_{i} | }{|| \mathbf{v} || _{q} }$ 을 대입하면 아래의 부등식을 얻는다.

$$ {{| u_{i} v_{i} |} \over {||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} }} \le {{1} \over {p}} {{ |u_{i}|^{p} } \over {|| \mathbf{u}||_{p}^{p} }} + {{1} \over {q}} {{ |v_{i}|^q } \over {|| \mathbf{v}||_{q}^{q} }} $$

위 식의 양변에 $\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}$ 을 취하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & \sum_{i=1}^{n} \dfrac{| u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \sum_{i = 1}^{n} \left( \dfrac{1}{p} \dfrac{ |u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ |v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \right) \\ \implies && \dfrac{ \sum_{i=1}^{n} | u_{i} v_{i} |}{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ \sum_{i=1}^{n}|v_{i}|^q }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } \\ \implies && \dfrac{ |\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | }{||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} } \le & \dfrac{1}{p} \dfrac{ || \mathbf{u}||_{p}^{p} }{|| \mathbf{u}||_{p}^{p} } + \dfrac{1}{q} \dfrac{ || \mathbf{v}||_{q}^{q} }{|| \mathbf{v}||_{q}^{q} } = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \end{align*} $$

세번째 줄은 $p$-놈의 정의 $\left( \sum_{i=1}^{n}|u_{i}|^{p} \right)^{1/p} = \left\| \mathbf{u} \right\|_{p}$ 에 의해 성립한다. 양변에 $||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q}$ 를 곱하면 다음과 같다.

$$ | \left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle | \le ||\mathbf{u}||_{p} ||\mathbf{v}||_{q} $$

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