📂거리공간

하이네-보렐 정리

Proof of heine borel Theorem

정리

정의

실수의 부분집합 $E \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $\displaystyle E \subset \bigcup_{\alpha \in \forall} ( x_{\alpha} , y_{\alpha})$ 을 만족하는 개구간의 집합 $\mathcal{O} = \left\{ ( x , y ) \ | \ x < y \right\}$ 을 $E$ 의 오픈 커버링^{open covering}이라 한다. 이러한 $E$ 가 컴팩트^compact라는 것은 $E$ 의 모든 오픈 커버링 $\mathcal{O}$ 에 대해 $\displaystyle E \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ 를 만족하는 $\mathcal{O}$ 의 유한부분집합 $\left\{ O_{1} , O_{2} , \cdots , O_{m} \right\}$ 가 존재한다는 것과 동치다.

하이네-보렐

$E \in \mathbb{R}$ 가 컴팩트인 필요충분조건은 $E$ 가 유계고 닫힌 집합이다.

설명

쉽게 말해 폐구간 $[a,b]$ 는 볼 것도 없이 컴팩트라는 것이다. 다른 동치조건으로 ’$E$ 의 모든 무한 부분 집합은 집적점 $p\in E$를 갖는다.’가 있으나 적어도 유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 에서는 위의 표현만 알아두어도 충분할 것이다.

증명 ¹

$(\Longrightarrow)$

$E$ 가 컴팩트이므로 어떤 실수 $r$ 에 대해

$$ E \subset \bigcup_{k =1}^{N} (r - k , r + k) $$

를 만족하는 자연수 $N$ 이 존재하고, 따라서 $E$ 는 유계다. 그뿐만 아니라 공집합은 유계의 조건을 만족시키지 못하므로 $E \ne \emptyset$ 임을 확신할 수 있다. 귀류법을 사용하기 위해 $E$ 가 열린 집합이라고 가정하자.

$E$ 가 유한집합일 경우 홑원소 집합의 유한 합집합은 자명하게 닫힌 집합이므로 $E$ 는 무한집합임을 가정할 것이고, 그러면 $E$ 에 포함되지 않은 집적점 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{k} = x$ 가 적어도 하나 존재할 것이다. $E$ 내부의 점 $y_{i} \in E$ 에 대해 $d_{i} := |x- y_{i}| / 2$ 이라고 두면 $x \notin E$ 이므로 $d_{i} > 0$ 일 것이다. 그러면 모든 $y_{i} \in E$ 에 대해 구간 $\left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right)$ 은 열린 집합이면서 $y_{i}$ 를 포함하고, $$ \left\{ \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) : y_{i} \in E \right\} $$ 는 $E$ 의 오픈 커버링 중 하나가 된다. $E$ 가 컴팩트이므로 $$ E \subset \bigcup_{i =1}^{M} \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) $$ 를 만족하는 자연수 $M \in \mathbb{N}$ 이 존재하고, 이에 따라 $d_{i}$ 가 유한히 존재하므로 그 최솟값 $$ d_{0} : = \min \left\{ d_{1} , d_{2} , \cdots , d_{M} \right\} $$ 역시 존재한다. 한편 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{k} = x$ 이므로 충분히 큰 $k$ 에 대해 $\left| x - x_{k} \right| < d_{0}$ 인 $x_{k} \in E$ 가 존재할텐데, $x_{k}$ 가 $E$ 에 속한다는 것은 적어도 어떤 하나의 $\left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right)$ 에도 속한다는 것, 다시 말해 어떤 $i \in \left\{ 1 , \cdots , M \right\}$ 에 대해서 $$ x_{k} \in \left( y_{i} - d_{i} , y_{i} + d_{i} \right) $$ 이다. 이에 따라 $\left| y_{i} - x_{k} \right| < d_{i}$ 를 만족하는 어떤 $i \in \left\{ 1 , \cdots , M \right\}$ 가 존재한다는 것을 보장할 수 있다.

그런데 이러한 $d_{i}$ 와 $d_{0}$ 의 선택에 따르면, 삼각부등식에 의해 아래의 전개가 성립해야한다. $$ \begin{align*} d_{i} > & |x_{k} - y_{i}| \\ \ge & |x - y_{i}| - |x - x_{k} | \\ = & 2 d_{i} - |x - x_{k}| \\ > & 2 d_{i} - d_{0} \\ \ge & 2 d_{i} - d_{i} \\ = & d_{i} \end{align*} $$ 정리하면 $d_{i} > d_{i}$ 이므로 이는 모순이고, $E$ 는 닫혀있다.

---

$(\Longleftarrow)$

유계면서 닫혀있는 집합 $E := [a,b]$ 을 생각해보면 된다. 폐구간 $[a,b]$ 에 대해 $\displaystyle \left[a , {{a+b} \over {2}} \right]$ 를 왼쪽 절반, $\displaystyle \left[{{a+b} \over {2}} , b \right]$ 를 오른쪽 절반이라고 하자.귀류법을 사용하기 위해 폐구간 $[a,b]$ 가 어떤 $\mathcal{O}$ 의 유한한 원소들의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ 에 포함되지 않는다고 가정해보자.

만약 $\displaystyle \left[a , {{a+b} \over {2}} \right]$ 와 $\displaystyle \left[{{a+b} \over {2}} , b \right]$ 모두가 어떤 $\displaystyle \bigcup_{i \in I } O_{i}$ 에 포함되면 $\displaystyle [a,b] \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ 로 나타낼 수 있으므로, $[a,b]$ 의 왼쪽 절반 혹은 오른쪽 절반 둘 중 하나는 어떤 $\displaystyle \bigcup_{i \in I } O_{i}$ 에 포함되지 않아야만한다. 포함되지 않은 쪽의 절반을 $[a_{1} , b_{1}]$ 이라 하자.위의 과정은 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_{n} , b_{n}]$ 에 대해 반복될 수 있고, $\displaystyle b_{n} - a_{n} = {{1} \over {2^n}} (b-a)$ 이므로

$$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } ( b_{n} - a_{n} ) = 0 $$

칸토어의 축소구간 정리: 내포된 구간 $[a_{n}, b_{n}]$ 에 대해서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 이면 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ 은 홑원소 집합이다.

칸토어의 축소구간 정리에 의해 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ 은 단 하나의 원소 $p$ 를 가지므로 $p \in [a,b]$ 이어야한다. 그러면 아주 작은 양수 $\varepsilon >0$ 에 대해

$$ ( p - \varepsilon , p + \varepsilon) \subset O $$

를 만족하는 $O \in \mathcal{O}$ 가 존재할 것이다. 여기서 $\displaystyle { {b-a} \over { 2^{ n_{0} } } } < \varepsilon$ 을 만족하도록 하는 자연수 $n_{0}$ 을 잡으면

$$ p \in [a_{n_{0}},b_{n_{0}},] \subset (p - \varepsilon , p + \varepsilon ) \subset O $$

본디 $[a_{n_{0}},b_{n_{0}}]$ 는 어떤 $O_{i}$ 들의 합집합에 포함되지 않도록 잡은 것이었으나, $O$ 에 포함되어버렸다. 따라서 $\displaystyle [a,b] \subset \bigcup_{i =1}^{m} O_{i}$ 이어야한다.

■

유클리드 공간 상에서의 하이네-보렐 정리

$E \subset \mathbb{C}^{n}$ 에 대해 $E$ 가 컴팩트인 필요충분조건은 $E$ 가 유계고 닫힌 집합이다.

---

한편, 이 정리는 $E \subset \mathbb{C}^{n}$ 에 대해서도 성립한다.