그뢴발 부등식 증명

그뢴발 부등식 증명

정리

최소값 $a \in \mathbb{R}$ 를 가지는 구간 $I \subset \mathbb{R}$ 에서 두 연속함수 $f,w : I \to \mathbb{R}$ 가 정의되어 있다고 하자. $w$ 가 $\forall t \in I$ 에서 $w(t) \ge 0$ 이고 어떤 상수 $C \in \mathbb{R}$ 에 대해 $$ f(t) \le C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \qquad , \forall t \in I $$ 이면 다음이 성립한다. $$ f(t) \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \qquad , \forall t \in I $$

설명

구간 $I$ 가 최소값 $a$ 를 가진다는 것은 $I$ 가 $a < b$ 에 대해 다음과 같이 생겼다는 의미다. $$ [a,b] \text{ or } [a,b) \text{ or } [a,\infty) $$

증명 1

$$ \begin{align*} \alpha (t) =& C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \\ \beta (t) =& C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \end{align*} $$

두 함수 $\alpha, \beta$ 를 위와 같이 정의하고 $\displaystyle \gamma(t) := {{ \alpha (t) } \over { \beta (t) }}$ 라 하면 $\gamma (a) = 1$ 이고 몫의 미분법에 따라 $$ \begin{align*} & \gamma ' (t) \\ =& {{ \alpha'(t) \beta (t) - \alpha (t) \beta' (t) } \over { \left[ \beta (t) \right]^{2} }} \\ =& {{ w(t) f(t) \cdot C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) - \left( C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \right) \cdot w (t) C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) } \over { \left( C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \right)^{2} }} \\ =& w(t) {{ f(t) - C - \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds } \over { C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) }} \end{align*} $$ 이다. 가정에서 $\displaystyle f(t) \le C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds$ 이고 $w(t) \ge 0$ 이므로 $\gamma'(t) \le 0$ 다. 따라서 $\gamma (t)$ 는 증가하지 않는 함수고, $\gamma (t) \le 1$ 이므로 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} & \gamma (t) = {{ \alpha(t) } \over { \beta(t) }} \le 1 \\ \implies& \alpha (t) \le \beta (t) \\ \implies& C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \\ \implies& f(t) \le C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \\ \implies& f(t) \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \end{align*} $$


  1. https://math.stackexchange.com/a/276322/459895 ↩︎

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