미적분학의 기본정리 증명

미적분학의 기본정리 증명

정리1

함수 $f$ 가 폐구간 $[a,b]$ 에서 연속이라고 하자.

(1) 함수 $\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $\displaystyle {{dF(x)} \over {dx}} = f(x)$ 를 만족한다.

(2) $f$ 의 임의의 부정적분 $F$ 에 대해 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

설명

물론 우리야 미분, 적분이라는 단어를 사용하기 때문에 이들 사이의 관계를 쉽게 짐작할 수 있다. 하지만 영어로는 differential과 integral로 전혀 상관없는데다 개념 역시 딱히 닮은 구석이 없다.

미적분학의 기본정리는 이 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 보여주고 있다.

증명

(1)

적분의 평균값 정리에 의해, $\displaystyle f(c) = {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt$ 를 만족하는 $c$ 가 $x, x+h$ 사이에 존재한다.

$h \to 0$ 일 때 $c \to x$ 이므로

$$ \lim_{h \to 0} {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = \lim_{h \to 0} f(c) = f(x) $$

한편 $\displaystyle F(x+h) - F(x) = \int_{a}^{x+h} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt = \int_{x}^{x+h} f(t) dt$ 이므로

$$ {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) dt = { {F(x+h) - F(x)} \over {h} } $$

이기도 하다. 따라서

$$ \lim_{h \to 0} { {F(x+h) - F(x)} \over {h} } = F'(x) = f(x) $$

(2)

$F$ 는 $f$ 의 부정적분이므로 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) + C$ 이고

$$ \int_{a}^{a} f(t) dt = F(a) + C $$

양변끼리 서로 빼면

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$

같이보기


  1. 경북대학교 기초교육원, 이공학도를 위한 대학수학 (2012), p108-109 ↩︎

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