합동방정식에 대한 대수학의 기본정리 증명

합동방정식에 대한 대수학의 기본정리 증명

Proof of fundamental theorem of algebra for congruence

정리 1

어떤 소수 $p$ 에 대해 $p\nmid a_{ 0 }$ 라 하면 모든 계수가 정수인 다항식 $$ f(x)=a_{ 0 }x^{ d }+a_{ 1 }x^{ d-1 }+ \cdots +a_{ d-1 }x+a_{ d } $$ 에 대해 방정식 $f(x)\equiv 0 \pmod{p}$ 는 많아도 $d$ 개의 합동이 아닌 해를 가진다.

설명

그냥 흔히들 아는 것처럼 실계수를 갖는 다항식에 대해서 말하자면, $n$차 방정식은 중근을 포함해 $n$개의 해를 갖는다는 정리다. 이를 정수론에서 생각해보면 $\pmod{p}$ 에서 정수 계수만을 가지는 $d$차 방정식은 많아도 $d$개의 해만을 가진다는 말을 할 수 있다. 이러한 스테이트먼트는 정수에 복소수를 도입함으로써 더욱 간결하게 바뀔 수 있다.

증명

전략: 대수학의 기본정리가 복소해석을 통해 연역되는 것과 달리 합동방정식에 관해서는 초등적인 정수론 지식으로 충분하다. 합동이 아닌 해가 $d$개 보다 더 많이 존재한다고 가정해서 모순을 유도한다.


방정식 $P(x)\equiv 0 \pmod{p}$ 에서 서로 다른 해가 $n$ 보다 많도록 하는 $n$차 정수계수 다항함수 $P$ 가 존재한다고 가정하자. 그 중에서 차수가 가장 작은 다항함수 $f$ 를 선택하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. $$ f(x)=A_{ 0 }x^{ d }+A_{ 1 }x^{ d-1 }+ \cdots +A_{ d-1 }x+A_{ d } (p\nmid A_{ 0 }) $$ 그러면 방정식 $f(x)\equiv 0 \pmod{p}$ 는 서로 다른 해 $r_{ 1 },r_{ 2 }, \cdots ,r_{ d },r_{ d+1 }$ 를 가진다. $f(x)\equiv 0 \pmod{p}$ 의 해 $r$ 에 대해 $f(x)$ 는 $$ f(x)=(x-r)g(x)+f(r) $$ 와 같이 나타난다. $f(x)$ 를 $(x-r)$ 로 나눈 몫인 $g(x)$ 는 $(d-1)$차 정수계수 다항함수로 아래와 같다. $$ g(x)=B_{ 0 }x^{ d-1 }+B_{ 1 }x^{ d-2 }+ \cdots +B_{ d-2 }x+B_{ d-1 } (p\nmid B_{ 0 }) $$ $r$ 에 $r_{ 1 }$ 을 대입해보면 $f(r_{ 1 })\equiv 0 \pmod{p}$ 이므로 $$ f(x)\equiv (x-r_{ 1 })g(x) \pmod{p} $$ $r_{ k }$ 는 $f(x)=0$ 의 근이므로 $(2\le k\le d+1)$ 에 대해 $$ f(r_{ k })\equiv (r_{ k }-r_{ 1 })g(r_{ k })\equiv 0 \pmod{p} $$ $r_{ k }-r_{ 1 } \not\equiv 0 \pmod{p}$ 이므로 $g(r_{ k })\equiv 0 \pmod{p}$ 이어야한다. 따라서 $g(x)\equiv 0 \pmod{p}$ 는 $d$ 개의 서로 다른 해 $r_{ 2 },r_{ 3 }, \cdots ,r_{ d+1 }$ 를 가진다. $f(x)$ 는 차수보다 서로 다른 해가 많은 다항함수 중 가장 차수가 낮은 $d$차 다항함수인데, $g(x)$ 는 차수가 $(d-1)$ 임에도 불구하고 $d$ 개의 서로 다른 해를 가지고 있으므로 모순이다.

같이보기


  1. Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p60. ↩︎

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