해석학에서 미분적분학의 기본정리2

해석학에서 미분적분학의 기본정리2

proof of fundamental theorem 2 of calculus in analysis

정리1

함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 리만 적분 가능하고, $F’=f$을 만족하는 $[a,b]$에서 미분 가능한 함수 $F$가 존재한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx= F(b)-F(a) $$

설명

미분적분학의 기본정리2라는 이름으로 유명한 정리이다. 흔히 FTC2Funcamental Theorem of Calculus1라고 줄여 부른다. $f$의 정적분은 부정적분인 $F$의 양 끝값의 차이로 나타난다는 의미를 갖는다.

증명

$\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그러면 $f$는 $[a,b]$에서 적분가능하므로 필요충분조건에 의해 다음을 만족하는 구간 $[a,b]$의 분할 $P=\left\{a= x_{0}, \cdots, x_{n}=b \right\}$가 존재한다.

$$ U(P,f)-L(P,f) < \varepsilon $$

$F$가 미분가능하다고 가정했으므로, 연속이다. 그러면 평균값 정리에 의해서 다음을 만족하는 $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$가 존재한다.

$$ F(x_{i})-F(x_{i-1})=f(t_{i})\Delta x_{i},\quad (i=1,\dots,n) $$

위 식을 모든 $i$에 대해서 더하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta x_{i}&=\left( F(b)-F(x_{n-1}) \right)+\cdots+\left( F(x_{1})-F(a) \right) \\ &= F(b) -F(a) \end{align*} $$

보조정리

$$ \left| \sum \limits_{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha(x) \right| < \varepsilon $$

그러면 위의 보조정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \sum \limits _{i=1} ^{n} f(t_{i})\Delta \alpha_{i} - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha(x) \right| &= \left|\big( F(b)-F(a) \big) - \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha(x) \right| \\ &< \varepsilon \end{align*} $$

이때 $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 다음을 얻는다.

$$ \int _{a} ^{b}f (x)d\alpha(x)=F(b)-F(a) $$

같이보기


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p134 ↩︎

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