해석학에서 미분적분학의 기본정리1

해석학에서 미분적분학의 기본정리1

정리1

$f$가 구간 $[a,b]$에서 리만 적분 가능한 함수라고 하자. 그리고 $a\le x \le b$에 대해서 $F$를 아래와 같이 두자.

$$ F(x) = \int _{a} ^{x} f(t)dt $$

설명

미분적분학의 기본정리1이라는 이름으로 유명한 정리이다. 흔히 FTC1Funcamental Theorem of Calculus1라고 줄여 부른다. $f$의 정적분으로 정의된 $F$가 미분가능하면 $f$를 도함수로 갖는다는 의미를 갖는다.

증명

(a)

$f$가 적분 가능하다고 가정했으므로 유계이다. 따라서 $M=\sup \limits_{[a,b]}\left| f \right| <\infty$이다. 이때 $M=0$이라면 $f=F=0$이라 자명하다. 따라서 $M>0$이라고 하자. 그리고 $a\le x< y \le b$라고 하자. 적분가능성은 구간내에서 보존되므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| {\color{blue}\int_{a}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| {\color{blue} \int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{x}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

또한 적분의 절댓값은 절댓값의 적분보다 작으므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \\ & \le \int_{x}^{y}\left| f(t) \right|dt \\ &\le \int_{x}^{y}Mdt \\ &= M(y-x) \end{aligned} \label{eq2} \end{equation} $$

이를 정리하면 다음과 같다.

$$ \left| F(x)-F(y) \right| \le M(y-x) $$

이제 임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그리고 $\delta = \dfrac{\varepsilon}{M}$이라고 하자. 그러면 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$ \left|y-x \right| <\delta \quad \implies \quad \left|F(y)-F(x) \right|<\varepsilon,\quad \forall x,y \in [a,b] $$

따라서 연속 함수의 정의에 의해 $F$는 연속2이다.

(b)

임의의 양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. $f$가 $x_{0}$에서 연속이라고 가정했으므로 정의에 의해 다음을 만족하는 $\delta >0$가 존재한다.

$$ \begin{equation} \left|x-x_{0} \right| <\delta \quad \implies \quad \left|f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon,\quad x\in[a,b] \label{eq3} \end{equation} $$

그러면 미분 계수의 정의에 의해 다음을 보이면 증명이 끝난다.

$$ F'(x_{0}) := \lim \limits_{x\to x_{0}}\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}} = f(x_{0}) $$

이제 $t \in [a,b]$가 $x_{0} < t <x_{0}+\delta$를 만족한다고 하자.($x_{0}-\delta < t < x_{0}$인 경우에도 아래에서 부호가 조금 바뀔 뿐 과정은 똑같다.) 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}-f(x_{0}) \right| &=\left| \frac{1}{t-x_{0}}\left( \int_{a}^{t}f(x)dx-\int_{a}^{x_{0}}f(x)dx \right) -f(x_{0}) \right| \\ &=\left|\frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -f(x_{0}) \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -\frac{1}{t-x_{0}}\int_{x_{0}}^{t}f(x_{0})dx \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\left( f(x)-f(x_{0}) \right)dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\varepsilon dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}}\varepsilon (t-x_{0}) \right| \\ &= \varepsilon \end{align*} $$

두번째 등호는 $\eqref{eq1}$이 성립하는 것과 같은 이유로 성립한다. 세번째 등호는 $\eqref{eq2}$가 성립하는 것과 같은 이유로 성립한다. 네번째 등호는은 적분이 선형이므로 성립한다. 첫번째 부등호는 $\eqref{eq3}$에 의해서 성립한다. $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 다음을 얻는다.

$$ \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=f(x_{0}) $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ F'(x_{0})=\lim \limits_{t\to x_{0}}\frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=\lim \limits_{t\to x_{0}}f(x_{0})=f(x_{0}) $$

그러므로 $F$는 $x_{0}$에서 미분 가능하고, $x_{0}$에서 미분 계수의 값은 $f(x_{0})$와 같다.

같이보기


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p133-134 ↩︎

  2. 정확히는 균등 연속이지만, 균등 연속이면 연속이다. ↩︎

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