프레넬 적분 증명

프레넬 적분 증명

Proof of fresnels integral

정리 1

$$ \int_{0}^{\infty} \cos x^2 dx = \int_{0}^{\infty} \sin x^2 dx = {{1}\over{2}} \sqrt{{\pi}\over{2}} $$

설명

프레넬 적분은 언뜻 쉬워 보이지만 보이는것만큼 간단한 결과가 아니다. 단순히 삼각함수의 제곱이라면 쉽겠지만 그 안의 $x$ 에 제곱을 취한 것이기 때문이다. 막상 건드려보면 이 $x$ 가 얼마나 사라지지 않는지 알 수 있을 것이다.함수 안의 변수가 핵심 문제기 때문에 그래프의 개형부터 잘 떠오르지 않는다. 일단 이상적분이 존재하긴 하는걸까? 파동은 그리는걸까? 주기를 가지고 점점 작아지는 걸까? 생각할수록 확실하게 맞다 아니다를 말하는 것조차 어려운 문제다.

하지만 복소해석을 쓰면 비교적 쉽게 문제를 해결할 수 있다. 이러한 해법을 찾아볼수록 실수 상의 문제 해결에 복소수의 도입이 필수불가결임을 인정할 수밖에 없을 것이다.

증명

Fresnelintegral.png

단순폐경로 $\mathscr{C}$ 를 위와 같이 반지름이 $R$ 인 팔분원이라고 하자. 이들을 각각 그림과 같이 $L_{1} , L_{2} ,L_{3}$ 으로 나눠서 풀어가보자. $$ L_{1}: z(t) = R e^{i t} , 0 \le t \le {{\pi} \over {4}} \\ L_{2}: z(t) = \left( \sqrt{{R} \over {2}} - t \right) + i \left( \sqrt{{R} \over {2}} - t \right) , 0 \le t \le \sqrt{{R} \over {2}} \\ L_{3}: z(t) = t , 0 \le t \le R $$ 그러면 코시의 정리에 의해 $$ \int_{\mathscr{C}} e^{-z^2} dz = \int_{L_{1}} e^{-z^2} dz + \int_{L_{2}} e^{-z^2} dz + \int_{L_{3}} e^{-z^2} dz =0 $$


Part 1. $L_1$ $$ \int_{L_{1}} e^{-z^2} dz = \int_{0}^{ {{\pi} \over {4}} } e^{-R^2 \text{cis} 2t } i R e^{it} dt = \int_{0}^{ {{\pi} \over {4}} } R \left( e^{ \text{cis} 2t } \right) ^{- R^2} i e^{i t} dt $$ 첫번째 적분은 $R \to \infty$ 일 때 $0$으로 수렴할 것이다.


Part 2. $L_2$ $$ \sqrt{2} \left( \sqrt{{R} \over {2} } - t \right) = x $$ 으로 치환하면 $-\sqrt{2} dt = dx$ 이고 $$ \begin{align*} \int_{L_{2}} e^{-z^2} dz =& \int_{0}^{\sqrt{{R} \over {2} }} e^{-2i \left( \sqrt{{R} \over {2} } - t \right)^2 } (-1-i) dx \\ =& \int_{\sqrt{R}}^{0} e^{- i x^2 } (-1-i) \left( -{{1}\over{\sqrt{2}}}\right) dx \\ =& -{{1}\over{\sqrt{2}}} (1+i) \int_{0}^{\sqrt{R}} e^{- i x^2 } dx \\ =& -{{1}\over{\sqrt{2}}} (1+i) \int_{0}^{\sqrt{R}} ( \cos x^2 - \sin x^2) dx \\ =& -{{1}\over{\sqrt{2}}} \int_{0}^{\sqrt{R}} \left\{ ( \cos x^2 + \sin x^2 ) + i ( \cos x^2 - \sin x^2) \right\} dx \end{align*} $$


Part 3. $L_3$

$$ \int_{L_{3}} e^{-z^2} dz= \int_{0}^{R} e^{-t^2} dt $$

가우스 적분에 의해 $R \to \infty$ 일 때 $\displaystyle {{\sqrt{\pi}}\over{2}}$ 로 수렴할 것이다.


Part 4. $\mathscr{C}$

$\displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{\mathscr{C}} e^{-z^2} dz = 0$ 이므로 $$ \lim_{R \to \infty} {{1}\over{\sqrt{2}}} \int_{0}^{\sqrt{R}} ( \cos x^2 + \sin x^2 ) dt = {{\sqrt{\pi}}\over{2}} \\ \displaystyle \lim_{R \to \infty} {{1}\over{\sqrt{2}}} \int_{0}^{\sqrt{R}} i ( \cos x^2 - \sin x^2) dt = 0 $$ 허수부가 $0$ 이어야하므로 $$ \int_{0}^{\infty} \cos x^2 dx = \int_{0}^{\infty} \sin x^2 dx $$ 따라서 실수부는 $$ \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} \cos x^2 dx = {{\sqrt{\pi}}\over{2}} $$ 이를 다시 잘 정리하면 $$ \int_{0}^{\infty} \cos x^2 dx = \int_{0}^{\infty} \sin x^2 dx = {{1}\over{2}} \sqrt{{\pi}\over{2}} $$


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p93. ↩︎

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