페르마의 정리 증명

페르마의 정리 증명

Proof of fermats Theorem

정리1

함수 $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극대 혹은 극소면서 $f ' (c)$ 가 존재하면 $f ' (c) = 0$

설명

보통 고등학교 교과서엔 롤의 정리까지만 소개되어 있으나 롤의 정리를 엄밀하게 증명하기 위해서는 극점에서의 미분계수가 왜 $0$ 인지를 보일 수 있어야하고, 페르마의 정리가 그것을 보장한다.

증명

Strategy: 극대와 극소 두가지 경우로 나누어서 증명한다.


  • Case 1. $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극대

    충분히 작은 양수 $h$ 에 대해 $f(c) \ge f(c \pm h)$ 이므로

    $$ \lim _{h \to 0^+} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \le 0 \quad \text{and} \quad \lim _{h \to 0^-} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \ge 0 $$

    가정에서 $\displaystyle f '(c) = \lim _{n \to 0} {{f(c+h)-f(c)} \over h}$ 가 존재하므로 $0 \le f '(c) \le 0$ 이고, 정리하면

    $$ f '(c)=0 $$

  • Case 2. $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극소

    충분히 작은 양수 $h$ 에 대해 $f(c) \le f(c \pm h)$ 이므로

    $$ \lim _{h \to 0^+} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \ge 0 \quad \text{and} \quad \lim _{h \to 0^-} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \le 0 $$

    가정에서 $\displaystyle f '(c) = \lim _{n \to 0} {{f(c+h)-f(c)} \over h}$ 가 존재하므로 $0 \le f '(c) \le 0$ 이고, 정리하면

    $$f ' (c)=0$$

따라서 어떤 경우든 $c$ 가 극점이면서 $f ' (c)$ 가 존재하면 $f ' (c) = 0$ 이어야한다.


  1. 경북대학교 기초교육원, 이공학도를 위한 대학수학 (2012), p74-75 ↩︎

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