거리공간에서 최대최소 정리

거리공간에서 최대최소 정리

정리

$X$를 컴팩트 거리공간, $f : X \to \mathbb{R}$을 연속이라고 하자. 그리고 다음과 같다고 하자.

$$ M = \sup \limits_{x\in X} f(x),\quad m=\inf \limits_{x \in X}f(x) $$

그러면

$$ M=f(p),\quad m=f(q) $$

를 만족하는 $q,p\in X$가 존재한다. 다르게 표현하면: 모든 $x$에 대해서

$$ f(q)\le f(x) \le f(p) $$

를 만족하는 $q,p \in X$가 존재한다. 이를 최대최소정리extreme value theorem라 한다.

설명

컴팩트라는 조건은 빠지면 안된다.

$f(X)$가 $f$의 최댓값, 최솟값을 포함한다는 것을 보장해주는 정리이다. 아무런 조건이 없다면 상한과 하한의 정의에 의해 $M$, $m$이 $f(X)$에 포함된다는 보장이 없지만 $X$가 컴팩트, $f$가 연속이라는 가정에 의해 $M,m\in f(X)$가 성립한다.

증명

$f$가 컴팩트 공간에서 연속이므로, $f(X)$는 컴팩트이다. 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치 조건에 의해서 $f(X)$는 닫혀있으며 유계인 실수 집합이다.

보조 정리

$E$를 공집합이 아닌 실수 집합이고 위로 유계라고 하자. 그리고 $y=\sup E$라고 하자. 그러면 $y \in \overline{E}$이다. 또한 $E$가 닫혀있으면 $y \in E$이다.

그러면 보조 정리에 의해서 증명 완료.

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