1계 상미분방정식의 초기값 문제에 대한 솔루션의 존재성과 유일성

1계 상미분방정식의 초기값 문제에 대한 솔루션의 존재성과 유일성

Existence and Uniqueness of Solutions of Initial Value Problem for First Order Ordinary Differential Equation

정리1

$E$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 열린집합이고 $f \in C^{1} (E)$와 $\phi_{0} \in E$에 대해 아래와 같은 초기값 문제가 주어졌다고 하자.

$$ \begin{cases} \dot{ \phi } = \mathbb{f} ( \phi ) \\ \phi (0) = \phi_{0} \end{cases} $$

그러면 어떤 $[-h,h]$ 에서 주어진 초기값 문제의 솔루션 $\phi (t)$ 은 유일하게 존재한다.

설명

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 의 을 $B \left( \mathbb{x}_{0} ; d \right) := \left\{ \mathbb{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbb{x}_{0} - \mathbb{x} | < d \right\}$, $B \left[ \mathbb{x}_{0} ; d \right] = \left\{ \mathbb{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid | \mathbb{x}_{0} - \mathbb{x} | \le d \right\}$ 과 같이 표현한다. 당연히 좀 더 강한 조건으로써 $f \in C^{1} (E)$ 대신 립시츠 조건이 있어도 무방하다.

증명

존재성을 먼저 보인 후 유일성을 보이겠다.

Part 1. $f$는 로컬리 립시츠이다

로컬리 립시츠일 조건

$f \in C^{1}(E)$이면, $f$는 $E$에서 로컬리 립시츠다.

$\dfrac{\partial f}{\partial y}$가 연속이라고 가정했으므로 위의 정리에 의해 $f$는 로컬리 립시츠이다. 따라서 로컬리 립시츠의 정의에 의해 모든 $\mathbb{x} , \mathbb{y} \in B \left( \phi_{0} ; \varepsilon \right) \subset E$에 대해서 다음의 식을 만족하는 $\varepsilon, K > 0$가 존재한다.

$$ \left| f(t,y_{1}) - f(t,y_{2}) \right| \le K \left| y_{1} - y_{2} \right| $$

연속성과 컴팩트의 관계

$X$를 컴팩트 거리공간, $Y$를 거리공간, $f:X\to Y$가 연속이라고 하자. 그러면 $f(X)$는 컴팩트이다.

$f$는 연속이므로 컴팩트셋 $B : = B \left[ \phi_{0} ; {{ \varepsilon } \over {2}} \right]$ 에서 바운디드고, $\displaystyle M : = \sup_{ \mathbb{x} \in B } | f ( \mathbb{x} ) |$ 를 잡을 수 있다.

Part 2. 피카드 메소드

$E$ 가 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 오픈이고 $f \in C^{1} (E)$ 에 대해 초기값 문제

$$ \begin{cases} \dot{ \phi } = f ( \phi ) \\ \phi (0) = \phi_{0} \end{cases} $$ 가 있다고 하자. 함수의 시퀀스 $\left\{ \mathbb{u}_{k} (t) \right\} _{ k =0}^{ \infty }$ 을

$$ \begin{cases} \mathbb{u}_{0} (t) = \phi_{0} \\ \displaystyle \mathbb{u}_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \mathbb{u}_{k} (s) \right) ds \end{cases} $$

과 같이 정의하면 연속함수 $\displaystyle \mathbb{u} (t) := \lim_{k \to \infty} \mathbb{u}_{k} (t)$ 는 주어진 초기값 문제의 솔루션이다.

연속함수 $\mathbb{u}_{k} (t)$ 가 $\displaystyle \sup_{ t \in [ -h , h ] } | \mathbb{u}_{k} (t) - \phi_{0} | \le {{\varepsilon } \over {2 }}$ 를 만족시면서

$$ \begin{cases} \mathbb{u}_{0} (t) = \phi_{0} \\ \displaystyle \mathbb{u}_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \mathbb{u}_{k} (s) \right) ds \end{cases} $$

와 같이 정의된다고 가정해보자.

$\mathbb{u}_{k}$ 와 $f$ 는 $[-h,h]$ 에서 연속이므로 $( f \circ \mathbb{u}_{k} ) $ 역시 연속이다.

미적분학의 기본정리

함수 $f$ 가 폐구간 $[a,b]$ 에서 연속이면 함수 $\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $${{dF(x)} \over {dx}} = f(x)$$

그러면 미적분학의 기본정리에 의해 $\displaystyle \mathbb{u}_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \mathbb{u}_{k} (s) \right) ds$ 역시 $[-h, h]$ 에서 연속이다.식을 살짝 정리해서 부등식을 세우면 모든 $t \in [-h, h]$ 에 대해

$$ \begin{align*} | \mathbb{u}_{k+1} (t) - \phi_{0} | \le & \int_{0}^{t} \left| f \left( \mathbb{u}_{k} (s) \right) \right| ds \\ \le & \int_{0}^{h} \left| f \left( \mathbb{u}_{k} (s) \right) \right| ds \\ \le & \int_{0}^{h} M ds \\ \le & Mh \end{align*} $$

다시 말해, $\displaystyle h \in \left( 0 , {{ \varepsilon } \over { 2M }} \right]$ 를 선택함으로써 $\mathbb{u}_{k} (t)$ 는 모든 $t \in [-h,h]$ 와 $k = 1,2,3 \cdots$ 에서 연속함수로 정의될 수 있다.

Part 3. 코시 수열 $\left\{ \mathbb{u}_{k} \right\}_{k=0}^{\infty}$

$t \in [-h , h ]$ 에 대해 $| \mathbb{ u }_{ j + 1 } - \mathbb{ u }_{ j } |$ 의 상한을 계산할 것이다.

  • Case 1. $j = 1$

$$ \begin{align*} | \mathbb{ u }_{ 2 } ( t ) - \mathbb{ u }_{ 1 } ( t ) | \le & \int_{0}^{t} \left| f \left( \mathbb{u}_{1} (s) \right) - f \left( \mathbb{u}_{0} (s) \right) \right| ds \\ \le & K \int_{0}^{t} | \mathbb{ u }_{ 1 } ( s ) - \mathbb{ u }_{ 0 } ( s ) | ds \\ \le & K h \sup_{ t \in [ - h , h ] } | \mathbb{ u }_{ 1 } ( t ) - \phi_{ 0 } | \\ \le & {{ K h \varepsilon } \over { 2 }} \end{align*} $$

Case 2. $j > 1$

$$ \begin{align*} | \mathbb{ u }_{ j+1 } ( t ) - \mathbb{ u }_{ j } ( t ) | \le & \int_{0}^{t} \left| f \left( \mathbb{u}_{ j } (s) \right) - f \left( \mathbb{u}_{ j - 1 } (s) \right) \right| ds \\ \le & K \int_{0}^{t} | \mathbb{ u }_{ j } ( s ) - \mathbb{ u }_{ j - 1 } ( s ) | ds \\ \le & K h \sup_{ t \in [ - h , h ] } | \mathbb{ u }_{ j } ( t ) - \mathbb{u}_{j-1} ( t ) \end{align*} $$

재귀적으로 풀어내면 Case 1. 에 의해

$$ | \mathbb{ u }_{ j+1 } ( t ) - \mathbb{ u }_{ j } ( t ) | \le {{ (Kh)^{j} \varepsilon } \over {2}} $$

$m > k > N$ 과 $\displaystyle h \in \left( 0 , {{1} \over { K }} \right)$ 이라 하고 $c := K h$ 라고 두면

$$ \begin{align*} | \mathbb{ u }_{ m } ( t ) - \mathbb{ u }_{ k } ( t ) | \le & \sum_{j = k}^{m-1} | \mathbb{u}_{j+1} (t) - \mathbb{u}_{j} (t) | \\ \le & \sum_{j = N}^{ \infty } | \mathbb{u}_{j+1} (t) - \mathbb{u}_{j} (t) | \\ \le & \sum_{j = N}^{ \infty } {{ ( K h )^{ j } \varepsilon } \over {2}} = {{ c^{N} } \over { 1 - c}} {{ \varepsilon } \over {2}} \end{align*} $$

$|c| < 1$ 이므로 $N \to \infty$ 일 때 $\displaystyle {{ c^{N} } \over { 1 - c}} {{ \varepsilon } \over {2}}$ 은 $0$ 으로 수렴한다. 다시말해, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해

$$ m , k \ge N \implies \| \mathbb{u}_{m} - \mathbb{u}_{k} \| = \sup_{ t \in [-h , h ] } | \mathbb{u}_{m} ( t ) - \mathbb{u}_{k} ( t ) | < \varepsilon $$

을 만족하는 $N$ 이 존재한다. 이는 $\left\{ \mathbb{u}_{k} \right\}_{k=0}^{\infty}$ 이 $C [ - h , h ]$ 의 코시 수열임을 의미한다.(물론 여기서 선택되는 $h$ 는 $\displaystyle 0 < h < \min \left( {{b} \over {M}} , {{1} \over {K}} \right)$ 을 만족해야한다.)

Part 4. 바나흐 공간

$C [ -h , h ]$ 는 바나흐 공간이므로 $\displaystyle \mathbb{u} (t) := \lim_{k \to \infty} \mathbb{u}_{k} (t)$ 는 연속함수다. $\mathbb{u}$ 가 연속이므로 $( f \circ \mathbb{u} ) $ 역시 연속이고, 미적분학의 기본정리에 의해

$$ \dot{\mathbb{u} } (t) = \left( \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u(s) \right) ds \right)' = f \left( \mathbb{u} (t) \right) $$

또한 $t = 0$ 이면 $\displaystyle \mathbb{u} (0) = \phi_{0} + \int_{0}^{0} f \left( u(s) \right) ds = \phi_{0} + 0 = \phi_{0}$따라서 $\mathbb{u}$ 는 모든 $t \in [ - h , h ]$ 에 대해 주어진 초기값 문제의 솔루션으로써 존재한다.

Part 5. 유일성

$\mathbb{u}$ 와 $\mathbb{v}$ 가 주어진 초기값 문제의 솔루션이라고 가정하자. $| \mathbb{u} (t) - \mathbb{v} (t) |$ 가 가장 큰 값을 가지도록 하는 $t$ 를 $t_{0} \in [-h , h]$ 이라고 하면

$$ \begin{align*} \| \mathbb{u} - \mathbb{v} \| = \sup_{t \in [-h,h ] } | \mathbb{u} (t) - \mathbb{v} (t) | =& \left| \int_{0}^{t_{0} } \left[ f \left( \mathbb{u} (s) \right) - f \left( \mathbb{v} (s) \right) \right] ds \right| \\ \le & \int_{0}^{t_{0} } \left| f \left( \mathbb{u} (s) \right) - f \left( \mathbb{v} (s) \right) \right| ds \\ \le & K \int_{0}^{t_{0} } \left|\mathbb{u} (s) - \mathbb{v} (s) \right| ds \\ \le & K h \sup_{s \in [-h, h ] } \left| \mathbb{u} (s) - \mathbb{v} (s) \right| \\ \le & K h \| \mathbb{u} - \mathbb{v} \| \end{align*} $$

정리하면, $\| \mathbb{u} - \mathbb{v} \| \le K h \| \mathbb{u} - \mathbb{v} \|$ 인데, $Kh < 1$ 이므로 $\| \mathbb{u} - \mathbb{v} \| = 0$ 이어야한다. 따라서 $[-h, h ]$ 에서는 $\| \mathbb{u} \| = \| \mathbb{v} \|$ 이어야한다.


  1. William E. Boyce , Boyce's Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p83-90 ↩︎

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