지배 수렴 정리 증명

지배 수렴 정리 증명

Proof of dominated Convergence Theorem

정리 1

가측집합 $E \in \mathcal{M}$ 와 $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 에 대해 가측함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $E$ 의 거의 어디서나 $|f_{n}| \le g$ 를 만족한다고 하자. 만약 $E$ 의 거의 어디서나 $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$ 이면, $f \in \mathcal{L}^{1}(E)$ 이고 $$ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm $$


설명

단조 수렴 정리와 비교해보자면 $f_{n} \nearrow f$ 라는 조건이 빠졌고 심지어 $f_{n} \ge 0$ 일 필요도 없어졌다.

재미있게도 $\left\{ f_{n} \right\}$ 을 ‘지배’할 수 있는 $g$ 가 필요하긴 하지만 막상 결과에선 $g$ 가 나타나지 않는다.

증명

Part 1.

$f \in \mathcal{L}^{1}(E) $ 임을 보이자.

$E$ 에서 $|f_{n}| \le g$ 이므로 모든 $x \in E$ 에 대해 $-g(x) \le f_{n} \le g(x)$ 이다. 정리하면 $$0 \le f_{n} (x) + g(x) \le 2 g(x)$$ 인데, $n \to \infty $ 일때 $$0 \le f (x) + g(x) \le 2 g(x)$$ 이므로 $$(f+g) \in \mathcal{L}^{1}(E)$$ 한편 $f = (f + g ) + ( -g)$ 이고 $\mathcal{L}^{1}(E)$ 는 벡터공간이므로 $f \in \mathcal{L}^{1}(E)$ 이다.


Part 2.

$f_{n} \ge 0$ 라고 가정하자.

파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 에 대해 $$\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

가정과 파투의 보조정리에 의해 $$\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ 이고, $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm $ 만 보이면 된다.

$g-f_{n}$ 에 파투의 보조정리를 다시 적용시켜보면 $$\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm $$ 이다. 여기서 $f, g \ge 0$ 이므로 좌변은 $$\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm =\int_{E} g dm - \int_{E} f dm$$ 우변은 $$ \begin{align*} & \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm \\ =& \liminf_{n \to \infty} \left( \int_{E} g dm - \int_{E} f_{n} dm \right) \\ =& \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \end{align*} $$ 정리하면 $$ \int_{E} g dm - \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 이므로 $\displaystyle \int_{E} g dm < \infty$ 이고 양변에서 소거할 수 있고, 부호를 정리하면 다음을 얻는다. $$\limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm$$


Part 3.

$f_{n} \ge 0$ 이 아닌 경우에 대해 일반화하자. $h_{n} := f_{n} + g$ 라고 정의하면 $h_{n} \ge 0$ 이므로 Part 2에서 했던 과정을 반복할 수 있다.


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p92. ↩︎

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