실수의 조밀성 증명

실수의 조밀성 증명

Proof of density of real numbers

정리

두 실수 $a<b$ 에 대해 $a<r<b$ 를 만족하는 $r \in \mathbb{R}$ 이 존재한다

설명

실수상에선 그 어떤 구간을 생각하든 그 사이엔 반드시 또 다른 실수가 존재한다. 아무리 작게 쪼개더라도 그곳엔 또 쪼갤 수 있는 점이 있다는 말이다. 당연해보이지만 이는 당연하지 않을 뿐만 아니라 몹시 추상적인 성질이라는 것도 명심하자. 예로써 물리학에서 다루는 물질과 에너지조차도 작게 작게 쪼개다보면 그 한계가 있다.

증명

Strategy: 증명은 유리수와 무리수에 대해서 각각 나눠서 한다. 두 실수 사이에 유리수가 존재하면서 무리수도 존재한다면 증명은 끝난다. 필요한 핵심 전제들은 아래와 같다.

체 공리

(A1) 덧셈에 대한 폐쇄성: $a+b \in \mathbb{R}$ (A5) 덧셈에 대한 역원: $a + (-a) = (-a) + a = 0$ 을 만족하는 $(-a)$가 존재 (M1) 곱셈에 대한 폐쇄성: $a\cdot b \in \mathbb{R}$ (M5) 곱셈에 대한 역원: $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$ 을 만족하는 ${a^{-1}}$가 존재

순서공리

가산성: $a<b$이고 $c\in \mathbb{R}$이면 $a+ c< b + c$ 승산성: $a<b$이고 $c>0$이면 $ac< bc$, 혹은 $c<0$이면 $ac> bc$


  • Part 1. 유리수의 조밀성

    $a<q<b$ 를 만족하는 $q \in \mathbb{Q}$ 가 존재함을 보이자.우선 $c<e<d$ 를 만족하는 실수 $c,d,e$를 생각해보자. 실수는 덧셈에 대해 닫혀있으므로

    $$ \begin{align*} a&=c-e + q \\ b&=d-e + q \end{align*} $$

    를 만족하는 $c,d,e$ 는 무수히 많이 존재한다. $c<e<d$ 의 각 변에 $e$ 의 덧셈에 대한 역원 $(-e)$를 더하면 가산성에 의해 다음과 같다.

    $$ c-e<e+(-e)=0<d-e $$

    여기에 유리수 $q$ 를 더하면 다음을 얻는다.

    $$ c-e+q<q<d-e+q $$

    $a =c-e+q$ 이고 $b =d-e+q$ 이므로 다음을 얻는다.

    $$ a<q<b $$

  • Part 2. 무리수의 조밀성

    $a<\xi<b$ 를 만족하는 $\xi \in \mathbb{Q^{c}}$ 가 존재함을 보이자. 무리수 $c>0$ 를 생각해보면 승산성에 의해 $a<b$ 면 $ac<bc$ 다. 실수는 곱셈에 대해 닫혀있으므로 $ac$ 와 $bc$ 역시 실수고, 유리수의 조밀성에 의해 $ac<q<bc$ 를 만족하는 유리수 $q$ 가 존재한다. $ac<q<bc$ 의 각 변을 $c$ 의 곱셉에 대한 역원 $\displaystyle {1 \over c}$ 로 곱하면 다음과 같다.

    $$ a<{q \over c}<b $$

    그런데 $\displaystyle \xi = {q \over c}$ 가 무리수가 되도록 하는 $q$ 와 $c$ 는 무수히 많이 존재하므로 다음과 같다.

    $$ a<\xi<b $$

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