실수의 조밀성 증명

실수의 조밀성 증명

정리

두 실수 $a<b$ 에 대해 $a<r<b$ 를 만족하는 $r \in \mathbb{R}$ 이 존재한다

설명

실수상에선 그 어떤 구간을 생각하든 그 사이엔 반드시 또 다른 실수가 존재한다. 아무리 작게 쪼개더라도 그곳엔 또 쪼갤 수 있는 점이 있다는 말이다. 당연해보이지만 이는 당연하지 않을 뿐만 아니라 몹시 추상적인 성질이라는 것도 명심하자. 예로써 물리학에서 다루는 물질과 에너지조차도 작게 작게 쪼개다보면 그 한계가 있다.

증명

Strategy: 증명은 유리수와 무리수에 대해서 각각 나눠서 한다. 두 실수 사이에 유리수가 존재하면서 무리수도 존재한다면 증명은 끝난다. 필요한 핵심 전제들은 아래와 같다.

체 공리

(A1) 덧셈에 대한 폐쇄성: $a+b \in \mathbb{R}$ (A5) 덧셈에 대한 역원: $a + (-a) = (-a) + a = 0$ 을 만족하는 $(-a)$가 존재 (M1) 곱셈에 대한 폐쇄성: $a\cdot b \in \mathbb{R}$ (M5) 곱셈에 대한 역원: $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$ 을 만족하는 ${a^{-1}}$가 존재

순서공리

가산성: $a<b$이고 $c\in \mathbb{R}$이면 $a+ c< b + c$ 승산성: $a<b$이고 $c>0$이면 $ac< bc$, 혹은 $c<0$이면 $ac> bc$


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