다르부의 중간값 정리 증명

다르부의 중간값 정리 증명

정리

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 이 $[a,b]$ 에서 미분가능하면 $f'(a)$ 와 $f'(b)$ 사이의 $y_{0}$ 에 대해 $y_{0} = f(c)$ 를 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 존재한다.

설명

증명

일반성을 잃지 않고, $f’(a) < y_{0} < f'(b)$ 라 가정하자. 이에 대해 다음과 같은 함수 $g$ 를 정의하자.

$$ g(x) := y_{0} x - f(x) $$

$g$ 는 $[a,b]$ 에서 미분가능하므로 연속이고, 최대최소값 정리에 따라 $[a,b]$ 에서 최댓값을 가진다. $f'(a) < y_{0}$ 이라 가정했으므로

$$ g'(a) = y_{0} - f'(a) > 0 $$

인데 구간의 시점 $a$ 에서 미분계수가 양수라는 것은 $g(a)$ 가 최댓값은 아님을 함의한다. 마찬가지로 $y_{0} < f'(b)$ 이라 가정했으므로

$$ g'(b) = y_{0} - f'(b) < 0 $$

인데 구간의 종점 $b$ 에서 미분계수가 음수라는 것은 $g(b)$ 역시 최댓값이 아님을 함의한다. 따라서 $g$ 는 $[a,b]$ 사이의 어떤 극점 $c$ 에서 최대값을 가져야하는데, 극값 $g'(c) = 0$ 을 생각해보면

$$ g'(c) = y_{0} - f'(c) = 0 $$

$f'(c)$ 를 이항해서 정리하면 다음을 얻는다.

$$ y_{0} = f'(c) $$

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