조건부 단조 수렴 정리 증명 📂확률론

조건부 단조 수렴 정리 증명

Proof of Conditional monotone Convergence Theorem

정리

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.

확률 변수의 시퀀스 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 과 $X \in \mathcal{L}^{1} (\Omega)$에 대해 $$ X_{1} \le X_{2} \le \cdots \le X \\ X_{n} \to X \text{ a.s.} $$ 이면 $$ \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$

설명

조건부 단조 수렴 정리는 단지 MCT가 조건부 기대값에 대해서도 똑같이 적용된다는 것을 말해준다. 물론 확률론에서의 역할도 MCT와 같다.

증명

전략: 단조 수렴 정리를 이용해 $\displaystyle \int$ 안팎으로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ 을 타넘기고, 기대값의 정의로 $E$ 를 만들었다 없앴다 하면서 피적분함수를 같게 만든다.

Part 1. $X_{1} \ge 0$

단조 수렴 정리에 따라 모든 $A \in \mathcal{G}$ 에 대해 $$ \begin{align*} \int_{A} \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) dP &\color{red}{=}& \lim_{n \to \infty} \int_{A} E( X_{n} | \mathcal{G} ) dP \\ =& \lim_{n \to \infty} \int_{A} X_{n} dP \\ &\color{red}{=}& \int_{A} \lim_{n \to \infty} X_{n} dP \\ =& \int_{A} E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) d P \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ 이므로 $$ \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$


Part 2. $X_{1} < 0$

$Y_{n} := X_{n} - X_{1}$ 이 확률 변수 $Y = X - X_{1}$ 에 대해 $Y_{n} \nearrow Y$ 라고 하면 $Y_{1} \ge 0$ 이므로 Part 1.에 따라 $$ \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} Y_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$ 이다. 그러면 조건부 기대값의 리니어러티에 의해 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) =& \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} + X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} | \mathcal{G} ) + E( X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( X - X_{1} | \mathcal{G} ) + E( X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( X - X_{1} + X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} \end{align*} $$

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