조건부 지배 수렴 정리 증명

조건부 지배 수렴 정리 증명

정리

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.

확률 변수의 시퀀스 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 모든 $n \in \mathbb{N}$ 과 어떤 $Y \in \mathcal{L}^{1} (\Omega)$ 에 대해 $| X_{n} | \le Y$ 라고 하면 $$ X_{n} \to X \text{ a.s.} \implies E( X_{n} | \mathcal{G} ) \to \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$

설명

조건부 지배 수렴 정리는 단지 DCT가 조건부 기대값에 대해서도 똑같이 적용된다는 것을 말해준다. 물론 확률론에서의 역할도 DCT와 같다.

증명

조건부 기대값의 성질

  • [7]: $E(X+Y | \mathcal{G}) = E(X | \mathcal{G}) + E(Y| \mathcal{G}) \text{ a.s.}$
  • [10]: $\left| E( X | \mathcal{G} ) \right| \le E ( | X | | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}$

$$ \begin{align*} \left| E( X_{n} | \mathcal{G} ) - E( X | \mathcal{G} ) \right| &\color{red}{=}& \left| E( X_{n} - X | \mathcal{G} ) \right| \\ &\color{blue}{\le}& E( \left| X_{n} - X \right| | \mathcal{G} ) \\ \le & E \left( \sup_{k \ge n} \left| X_{k} - X \right| | \mathcal{G} \right) \end{align*} $$ 이므로 조건부 단조 수렴 정리리미트 슈프리멈의 성질, 조건 $X_{n} \to X \text{ a.s.}$ 에 따라 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left| E( X_{n} | \mathcal{G} ) - E( X | \mathcal{G} ) \right| \le & \lim_{n \to \infty} E( \sup_{k \ge n} \left| X_{k} - X \right| | \mathcal{G} ) \\ &\color{red}{=}& E \left( \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} \left| X_{k} - X \right| | \mathcal{G} \right) \\ =& E \left( \lim_{n \to \infty} \left| X_{n} - X \right| \mathcal{G} \right) \\ &\color{blue}{=}& 0 \text{ a.s.} \end{align*} $$

같이보기

댓글