클락슨 부등식의 증명

클락슨 부등식의 증명

Proof of Clarkson's Inequalities

정리1

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자.

$u,v\in {L}^{p}(\Omega)$라고 하자. 또한 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$을 만족한다고 하자. 만약 $2 \le p \lt \infty$라면 다음의 두 부등식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \ge \left( \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p}\right)^{p^{\prime}-1} \end{equation} $$

만약 $1 \lt p \le 2$라면 다음의 두 부등식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \ge \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}\left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2}\left\| v \right\|_{p}^{p}\right)^{p^{\prime}-1} \end{equation} $$

설명

이를 클락슨 부등식Clarkson’s inequalities이라 한다.

$(1)$과 $(3)$, $(2)$와 $(4)$는 같은 식에서 부등호 반향만 반대이다.

여러 부등식들이 그러하듯 이 자체가 큰 의미를 가진다기 보다는 다른 중요한 정리들을 증명할 때 요긴하게 쓰인다. 증명에 필요한 보조정리나 수식이 많아서 미리 정리해두겠다. $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$이므로 이를 잘 정리하면 아래의 식들을 얻을 수 있다.

$$ \begin{array}{c} \displaystyle (a)\ p^{\prime}=p(p^{\prime}-1),\quad (b)\ p=p^{\prime}(p-1),\quad (c)\ \frac{p}{p^{\prime}}=p-1 \\ \displaystyle (d)\ \frac{p^{\prime}}{p}=p^{\prime}-1,\quad (e)\frac{1}{p-1}=p^{\prime}-1\end{array} \quad \cdots (5) $$

또한 놈의 정의를 이용하면 $u\in {L}^{p}$에 대해서 아래의 식이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

$$ \| u \|_{p}^{p^{\prime}}=|\ |u|^{p^{\prime}} |_{p-1}\quad \cdots (6) $$


보조정리

$z,w \in \mathbb{C}$이고 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$라고 하자. 만약 $1<p \le 2$이면 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \left| \frac{z+w}{2} \right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{z-w}{2} \right|^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}|z|^{p} + \frac{1}{2}|w|^{p} \right)^{\frac{1}{p-1}}\quad \cdots (7) $$

만약 $2 \le p <\infty$라면 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \left| \frac{z+w}{2} \right|^{p} + \left| \frac{z-w}{2} \right|^{p} \le \frac{1}{2}|z|^{p} + \frac{1}{2}|w|^{p} \quad \cdots (8) $$


민코프스키 부등식$(\mathrm{ Minkowski\ inequality})$

$1 \le p<\infty$라고 하자. 만약 $u,v\in {L}^{ p}$라면 다음의 부등식이 성립한다.

$$ | u+v|_{p} \le \| u \|_{p}+\left\| v \right\|_{p} $$

역 민코프스키 부등식$(\mathrm{reverse\ Minkowski\ inequality})$

$0<p \le 1$이라고 하자. 만약 $u,v\in {L}^{ p}$라면 다음의 부등식이 성립한다.

$$ | \ |u|+|v| \ |_{p} \ge \| u \|_{p}+\left\| v \right\|_{p} $$

증명

(1)

$2 \le p <\infty$라고 가정하자. $(8)$에 $z=u(x)$, $w=v(x)$를 대입하고 적분을 취하면 $(1)$을 바로 얻을 수 있다.

$$ \int_{\Omega} \left( \left| \frac{u+v}{2} \right|^{p}+ \left| \frac{u-v}{2} \right|^{p} \right) dx \le \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2}|u|^{p} +\frac{1}{2}|v|^{p} \right) dx $$

$$ \implies \int_{\Omega} \left| \frac{u+v}{2} \right|^{p}dx+ \int_{\Omega} \left| \frac{u-v}{2} \right|^{p} dx \le \frac{1}{2}\int_{\Omega} |u|^{p}dx +\frac{1}{2}\int_{\Omega} |v|^{p} dx $$

$$ \implies \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p} + \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}\| u \|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \left\| v \right\|_{p}^{p} $$

(2)

$2 \le p <\infty$라고 가정하자. 그러면 $1<p^{\prime}\le 2$이고 $1\le p$이다. 위에서 정리한 결과들을 사용해서 계산하면

$$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}}+\left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} =&\ \left\| \ \left| \frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1}+\left\| \ \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ \ge& \left\| \ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} \left| \ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right|^{p-1} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ \ge& \left( \int_{\Omega} \left( \frac{1}{2} \left| u \right|^{p} + \frac{1}{2}\left| v \right|^{p} \right) dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ =&\ \left( \frac{1}{2}\int_{\Omega} \left| u \right|^{p} dx + \frac{1}{2} \int_{\Omega} \left| v \right|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ =&\ \left( \frac{1}{2} \left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \left\| v \right\|_{p}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \end{align*} $$

첫번째 줄은 $(6)$에 의해 성립한다. 두번째 줄은 $1\le p-1$이므로 민코프스키 부등식에 의해 성립한다. 세번째 줄은 $p-1$놈의 정의를 그대로 쓴 것이다. 네번째 줄이 성립하는 것을 보이려면 계산이 더 필요하다.

  • 추가계산 $1<p^{\prime}\le 2$이므로 $(7)$에 $p=p^{\prime}$, $z=u+v$, $w=u-v$를 대입하면

    $$ \left| u \right|^{p} + \left| v \right|^{p} \le \left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{\frac{1}{p^{\prime}-1}} $$

    양변에 $\frac{1}{2}$을 곱하면

    $$ \begin{align*} \frac{1}{2}\left| u \right|^{p} + \frac{1}{2}\left| v \right|^{p} \le& \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{\frac{1}{p^{\prime}-1}} \\ =&\ \left(\frac{1}{2}\right)^{{p^{\prime}-1} \frac{1}{p^{\prime}-1}} \left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{p-1} \\ =&\ \left(\frac{1}{2}\right)^{(p^{\prime}-1) (p-1)} \left( \frac{1}{2}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{p-1} \\ =&\ \left(\frac{1}{2^{p^{\prime}}}|u+v|^{p^{\prime}} + \frac{1}{2^{p^{\prime}}}|u-v|^{p^{\prime}} \right)^{p-1} \\ =&\ \left(\frac{u+v}{2}|^{p^{\prime}} + |\frac{u-v}{2}|^{p^{\prime}} \right)^{p- 1} \end{align*} \quad \cdots (9) $$

    $(5)(e)$에 의해서 세번째 줄이 성립한다.$(9)$에 의해서 네번째 줄이 성립한다. 정리해서 놈의 정의를 사용하고 $(5)(e)$를 쓰면 마지막줄이 성립한다.

(4)

$1<p\le 2$라고 하자.

$$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}}+\left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} =&\ \left\| \ \left| \frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1}+\left\| \ \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ \le& \left\| \ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right\|_{p-1} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} \left|\ \left|\frac{u+v}{2}\right|^{p^{\prime}} + \left| \frac{u-v}{2}\right|^{p^{\prime}} \right|^{p-1} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ \le& \left( \int_{\Omega} \left| \left( \frac{1}{2} \left| u \right|^{p} + \frac{1}{2}\left| v \right|^{p}\right)^{\frac{1}{p-1}} \right|^{p-1} dx \right)^{\frac{1}{p-1}} \\ =&\ \left( \frac{1}{2}\int_{\Omega} \left| u \right|^{p} dx + \frac{1}{2} \int_{\Omega} \left| v \right|^{p} dx \right)^{p^{\prime}-1} \\ =&\ \left( \frac{1}{2} \left\| u \right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \left\| v \right\|_{p}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \end{align*} $$

첫번째 줄은 $(6)$에 의해서 성립한다. 두번째 줄은 $0<p-1\le 1$이므로 역 민코프스키 부등식에 의해서 성립한다. 네번째 줄은 $(7)$에 의해서 성립한다. 놈의 정의와 $(5)(e)$를 이용하면 마지막 줄이 성립한다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p44-45 ↩︎

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