체비셰프 부등식 증명

체비셰프 부등식 증명

정리 1

확률변수 $X$ 의 분산 $\sigma^2 < \infty$ 가 존재하면 $\mu := E(X)$ 와 어떤 양수 $k>0$ 에 대해 $$ \displaystyle P(|X-\mu| \ge k\sigma) \le {1 \over k^2} $$

설명

비교적 형태가 간단하고 식의 조작이 쉬운데다 결과도 한 눈에 들어오기 때문에 보조정리로써 많이 쓰인다. 다만 마코프 부등식과 비교하자면 분산이 존재해야한다는 조건이 하나 더 있다.

조건에서 $2$차 적률이 존재해야하는 것을 보고 너무 쉽고 당연한 조건으로 여길지 모르겠다. 뭐 어느정도는 맞는 말이지만, 학부생 정도 됐다면 그 존재성이라는 게 아주 당연하지는 않다는 팩트 정도라도 알아두자.

증명

전략: 마코프 부등식에서 시작해서 제곱이 포함된 부등식은 절대값에 대한 부등식으로 바꿔도 같음을 이용한다. 참고로 가정에서 분산이 존재하므로 평균 $\mu$ 의 존재성은 증명할 필요가 없다.


$u(X) : =(X-\mu)^2$ 이라고 하자.

마코프 부등식 $$ \displaystyle P(u(X) \ge c) \le {E(u(X)) \over c} $$

$c:=k^2 \sigma^2$ 이라고 하면 $$ \displaystyle P((X-\mu)^2 \ge k^2 \sigma ^2) \le {E((X-\mu)^2) \over {k^2 \sigma^2}} $$ $P((X-\mu)^2 \ge k^2 \sigma ^2) = P(|X-\mu| \ge k \sigma)$ 이고 $E((X-\mu)^2)=\sigma^2$ 이므로 $$ \displaystyle P(|X-\mu| \ge k \sigma) \le {1 \over k^2} $$


  1. Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p69. ↩︎

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