케일리의 정리 증명

케일리의 정리 증명

정리 1

모든 대칭군의 어떤 부분군과 동형이다.

설명

짧고도 굵직한 이 정리는 대칭군을 연구하면 모든 군을 파악할 수 있다는 메세지를 담고 있다.

증명

증명은 언뜻 지루해 보이지만 읽어보면 그 테크닉이 상당히 흥미로우니 한번정도는 직접 따라해보는 것을 추천한다.


Part 1. $f : G \to G'$ 가 단사면 $G \simeq f (G)$

$G$ 와 $G'$ 에 대해 준동형사상 $f : G \to G'$ 가 단사면 $G \simeq f (G)$ 임을 보이자.

군의 정의: 군은 아래의 성질들을 만족하는 이항연산구조다.

  • (i): 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
  • (ii): 모든 원소에 대해 항등원이 존재한다.
  • (iii): 모든 원소에 대해 역원이 존재한다.

$f(G) = f(G)$ 이므로 $f : G \to f(G)$ 는 전사고, $f(G)$ 가 군임을 보이면 된다.

$x,y \in G$ 와 $x', y' \in G'$ 에 대해 $f(x) = x'$, $f(y) = y'$ 라고 하면 $$ f(xy) = f(x) f(y) = x' y' $$ 이므로 $f(G)$ 는 $G'$ 의 연산에 대해 닫혀있다. 또한 $f(G) \subset G'$ 인데 $G'$ 이 군이므로 결합법칙을 만족한다.

$e$ 를 $G$ 의 항등원, $e'$ 를 $G'$ 의 항등원이라고 하면 $$ e' f(e) = f(e) = f(ee) = f(e) f(e) $$ 이므로 $f(G)$ 는 항등원 $e'$ 를 갖는다.

마지막으로 $$ e' = f(e) = f(x x^{-1}) = f(x) f(x^{-1}) = x' f(x^{-1}) $$ 즉 모든 $x' \in f(G)$ 는 역원 $f(x^{-1})$ 를 가지므로 $f(G)$ 는 군이다.


Part 2. $\exists \phi : G \hookrightarrow S_{G}$

이제 모노멀피즘(준동형사상이면서 단사인 함수) $\phi : G \to S_{G}$ 가 존재하기만을 보이면 증명은 끝난다.

$x \in G$ 에 대해 $\lambda_{x} : G \to G$ 를 $\lambda_{x} (g) := xg$ 로 정의하면 $$ \lambda_{x} (a) = \lambda_{x} (b) \implies xa = xb \implies a = b $$ 이므로 $\lambda_{x}$ 는 단사다. 또한 모든 $c \in G$ 에 대해 $$ \lambda_{x} (x^{-1} c ) = x x^{-1} c = c $$ 이므로 $\lambda_{x}$ 는 전사고, 따라서 $\lambda_{x} : G \to G$ 는 $G$ 의 순열이다.

그럼 이제 $x \in G$ 에 대해 $\phi : G \to S_{G}$ 를 $\phi(x) = \lambda_{x}$ 라고 정의해도 될 것이다. $\phi(x) = \phi(y)$ 라고 하면 $\lambda_{x} = \lambda_{y}$ 이고 $\lambda_{x} (e) = \lambda_{y} (e)$ 이므로 $$ x e = y e \implies x = y $$ 즉, $\phi$ 는 단사다. 한편 $\phi(xy) = \lambda_{xy}$ 이므로 $\lambda_{xy}(g) = (x y) g$ 인데 $\lambda_{x} , \lambda_{y}$ 는 순열이기 때문에 $$ ( \lambda_{x} \lambda_{y} ) (g) = \lambda_{x} (\lambda_{y} (g)) = \lambda_{x} (yg) = x (yg) $$ 이다. 정리하면 $$\phi(xy) = \lambda_{xy} = \lambda_{x} \lambda_{y} = \phi(x) \phi(y)$$ 즉, $\phi$ 는 준동형사상이다.


따라서 $G$ 는 $S_{G}$ 의 어떤 부분군에 대해 동형이다.


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p82. ↩︎

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