복소해석에서의 코시 정리 증명

복소해석에서의 코시 정리 증명

Proof of cauchys Theorem

정리 1

단순폐경로 $\mathscr{C}$와 그 내부에서 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 해석적이고 $f '$ 가 연속이라고 하자. 그러면 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

증명

$a \le t \le b$ 에 대해 $$ z(t) = x(t) + i y(t) \\ f(z) = u(x,y) + i v(x,y) $$ 라고 하면 $\displaystyle {{dz} \over {dt}} = x’ + i y’$ 이므로 $$ \begin{align*} f(z)dz =& f(z) (x’ + i y’) dt \\ =& (u + i v ) ( x’ + i y’ ) dt \\ =& (u x’ - v y’) + i (v x’ + u y’) dt \end{align*} $$ $\displaystyle x’ = {{dx} \over {dt}}$ 이고 $\displaystyle y’ = {{dy} \over {dt}}$ 이므로 $$ \begin{align*} \int_{\mathscr{C}} f(z) dz =& \int_{a}^{b} (u x’ - v y’) dt + i \int_{a}^{b} (v x’ + u y’) dt \\ =& \int_{\mathscr{C}} (u dx - v dy ) + i \int_{\mathscr{C}} (v dx + u dy) \end{align*} $$ 여기서 도함수가 연속이라는 조건이 쓰인다.

그린의 정리: $P,Q$ 가 연속이고 그 도함수도 연속이면 $$\int_{\mathscr{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} (Q_{x} - P_{y}) dx dy$$

그린의 정리에 따라 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = - \iint_{S} (v_x + u_y) dxdy + i \iint_{S} (u_x - v_y) dxdy $$ 한편, $u,v$ 는 코시-리만 방정식을 만족하는 해들이므로 $u_y = -v_x$ 이고 $u_x = v_y$ 이다. 따라서 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

설명

말하자면 특정 조건을 만족시켰을 때 아예 정적분을 계산할 필요가 없다는 것이다.‘해석학의 아버지’라는 코시지만 그의 이름만 단독으로 붙은만큼 굉장히, 아주 중요한 정리다. 보다시피 함수 $f$ 의 조건을 만족시키기는 별로 어렵지 않아 많은 곳에서 써먹을 수 있다.

실용적일 뿐만 아니라 무척 단순하기도 해서 수학적인 아름다움까지 느낄 수 있다.

미분자와 적분자를 다룰때 엄밀하진 않지만 직관적으로 이해할 수 있도록 야매해석학을 썼다. 결과적으로는 같기는 한데 엄연히 틀린 과정이므로 주의하도록 하자.

한가지 더 유용한 정리를 증명 없이 소개한다.

일반화

코시-구르사 정리The Cauchy-Goursat Theorem

단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 $f$ 가 해석적이면 $\mathscr{R}$ 내부의 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 에 대해 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$


프랑스의 수학자 구르사는 $f$ 의 도함수에 대한 조건을 없앤다는 센스에서 일반화를 이뤄냈다. 팩트로써는 분명하게 코시의 정리보다도 유용하니 꼭 알아두도록 하자.

같이보기


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p82. ↩︎

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