📂해석개론

코시의 평균값 정리 증명

Proof of Cauchy's mean value Theorem

정리¹

함수 $f(x), g(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하며 $g ' (x) \ne 0$이면

$$ {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}} $$

를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

설명

보통 평균값 정리와 달라진 게 있다면 그냥 함수가 하나 더 늘어난 것이다. $g(x) = x$ 로 본다면 이 $g$ 가 더 자유로워졌다는 의미에서 평균값 정리의 일반화라고 할 수 있다.

증명

롤의 정리의 대우

$g ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 존재하지 않으면 $g(a) \ne g(b)$

롤의 정리의 대우에 의해 $g(a) \ne g(b)$ 임을 알 수 있다.

$$ h(x) :={g(b)-g(a)}{f(b)-f(x)}-{f(b)-f(a)}{g(b)-g(x)} $$

위와 같이 새로운 함수 $h(x)$ 를 정의하면 $h(a)= 0 = h(b)$ 이고 롤의 정리에 의해 $h ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다. 한편 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$$ h ' (x)=-{g(b)-g(a)}f ' (x)+{f(b)-f(a)}g ' (x) $$

$h(x)$ 에 $x=c$ 를 대입하면

$$ h ' (c)=-{g(b)-g(a)}f ' (c)+{f(b)-f(a)}g ' (c)=0 $$

정리하면 $\displaystyle {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}}$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.

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같이보기

• 평균값 정리
• 적분의 평균값 정리
• 가우스의 평균값 정리