카라테오도리 정리 증명

카라테오도리 정리 증명

정의1

모든 $A \subset X$에 대해서 아래의 식이 성립하면 $E \subset X$가 카라테오도리 조건Caratheodory condition을 만족시킨다고 하거나 $E$가 $\mu^{\ast}$-가측가능$\mu^{\ast}$-measurable이라고 한다.

$$ \begin{equation} \mu^{\ast}(A) = \mu^{\ast}(A\cap E) + \mu^{\ast}(A \cap E^{c}) \label{def1} \end{equation} $$

$\mu^{\ast}$은 외측도 이다.

정리

$L$을 카라테오도리 조건을 만족시키는 모든 $E \subset X$를 포함하는 집합이라고 하자. 그러면 $L$은 $\sigma$-대수이다. 또한 $\mu^{\ast}$는 $L$상의 측도 가 된다.

이를 카라테오도리 정리Caratheodory theorem라고 한다.

설명

$X=\mathbb{R}^n$이라 하면 $L$을 $\mathbb{R}^n$의 르벡 $\sigma$-대수Lebesgue $\sigma$-algebra라고 한다. 그리고 $E$를 $\mathbb{R}^n$의 르벡 가측 집합 혹은 간단히 가측 집합 이라 한다. 그리고 이 때 외측도 $\mu^{\ast}$을 $\mathbb{R}^n$ 위의 르벡 측도 라 한다.

증명

$\mu^{\ast}$가 $L$상의 측도가 됨을 보이려면 정의에 의해 아래 세 조건을 만족하는지 확인하면 된다.

측도

(D1) $\mu^{\ast}(\varnothing)=0$

(D2) $\mu^{\ast} : L \to [0,\infty]$

(D3) 서로 다른 $E_{i} \subset X$에 대해서 $\mu^{\ast}\left(\bigsqcup \limits_{i=1}^{\infty} E_{i} \right) = \sum \limits_{i=1}^{\infty}\mu^{\ast}(E_{i}) $

그런데 이는 외측도의 정의와 성질에 의해서 자명하게 성립한다.


$L$이 $\sigma$-대수인 것을 보이려면 정의에 의해 아래의 조건을 만족하는지 확인하면 된다.

$\sigma$-대수

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 컬렉션 $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$를 $\sigma$-대수 라 한다.

  • (D1) $\varnothing, X \in \mathcal{E}$
  • (D2) $E \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}$
  • (D3) $E_k \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{E}$


  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p100 ↩︎

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