카라테오도리 정리 증명

카라테오도리 정리 증명

proof of caratheodory theorem

정의1

모든 $A \subset X$에 대해서 아래의 식이 성립하면 $E \subset X$가 카라테오도리 조건Caratheodory condition을 만족시킨다고 하거나 $E$가 $\mu^{\ast}$-가측가능$\mu^{\ast}$-measurable이라고 한다.

$$ \begin{equation} \mu^{\ast}(A) = \mu^{\ast}(A\cap E) + \mu^{\ast}(A \cap E^{c}) \label{def1} \end{equation} $$

$\mu^{\ast}$은 외측도 이다.

정리

$L$을 카라테오도리 조건을 만족시키는 모든 $E \subset X$를 포함하는 집합이라고 하자. 그러면 $L$은 $\sigma$-대수이다. 또한 $\mu^{\ast}$는 $L$상의 측도 가 된다.

이를 카라테오도리 정리Caratheodory theorem라고 한다.

설명

$X=\mathbb{R}^n$이라 하면 $L$을 $\mathbb{R}^n$의 르벡 $\sigma$-대수Lebesgue $\sigma$-algebra라고 한다. 그리고 $E$를 $\mathbb{R}^n$의 르벡 가측 집합 혹은 간단히 가측 집합 이라 한다. 그리고 이 때 외측도 $\mu^{\ast}$을 $\mathbb{R}^n$ 위의 르벡 측도 라 한다.

증명

$\mu^{\ast}$가 $L$상의 측도가 됨을 보이려면 정의에 의해 아래 세 조건을 만족하는지 확인하면 된다.

측도

(D1) $\mu^{\ast}(\varnothing)=0$

(D2) $\mu^{\ast} : L \to [0,\infty]$

(D3) 서로 다른 $E_{i} \subset X$에 대해서 $\mu^{\ast}\left(\bigsqcup \limits_{i=1}^{\infty} E_{i} \right) = \sum \limits_{i=1}^{\infty}\mu^{\ast}(E_{i}) $

그런데 이는 외측도의 정의와 성질에 의해서 자명하게 성립한다.


$L$이 $\sigma$-대수인 것을 보이려면 정의에 의해 아래의 조건을 만족하는지 확인하면 된다.

$\sigma$-대수

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 $X$의 부분집합들의 컬렉션 $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(X)$를 $\sigma$-대수 라 한다.

  • (D1) $\varnothing, X \in \mathcal{E}$
  • (D2) $E \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}$
  • (D3) $E_k \in \mathcal{E}\ (\forall k \in \mathbb{N}) \implies \bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{E}$
  • (D1)

    카라테오도리 조건에 $E$ 대신 $\varnothing$, $X$를 대입하면 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.

  • (D2)

    카라테오도리 조건의 정의에 의해서 자명하게 성립한다.

  • (D3)

    위의 두 조건과 달리 확인하는 것이 쉽지 않다. 우선 $E_{1}$과 $E_{2}$가 $\eqref{def1}$을 만족시킬 때 $E_{1} \cup E_{2}$도 $\eqref{def1}$을 만족시킴을 보일 것이다.

    • Part 1.

      가정에 의해 $E_{1}$이 $\eqref{def1}$을 만족시키므로 다음이 성립한다.

      $$ \mu^{\ast}(A)=\mu^{\ast}(A \cap E_{1}) + \mu^{\ast}(A \cap E_{1}^{c}) $$

      또한 $E_{2}$도 $\eqref{def1}$을 만족시키므로 다음이 성립한다.

      $$ \begin{align*} \mu^{\ast}(A) &= \mu^{\ast}(A \cap E_{1}) + \mu^{\ast}(A \cap E_{1}^{c}) \\ &= \mu^{\ast} \big( (A \cap E_{1})\cap E_{2} \big) + \mu^{\ast} \big( (A \cap E_{1})\cap E_{2}^{c} \big) \\ &\quad + \mu^{\ast} \big( (A \cap E_{1}^{c})\cap E_2 \big)+\mu^{\ast} \big( (A \cap E_{1}^{c})\cap E_{2}^c \big) \end{align*} $$

      외측도의 준가법성에 의해 아래의 식이 성립한다.

      $$ \mu^{\ast} \Big( \big[ A\cap E_{1}\cap E_{2} \big] \cup \big[ A \cap E_{1} \cap E_{2}^{c}\big] \cup \big[ A \cap E_{1}^{c} \cap E_2 \big] \Big) \\ \le \mu^{\ast} \big( A \cap E_{1}\cap E_2 \big) + \mu^{\ast} \big( A \cap E_{1}\cap E_{2}^{c} \big) + \mu^{\ast} \big( A \cap E_{1}^{c}\cap E_2 \big) $$

      따라서 다음이 성립한다.

      $$ \begin{align*} & \mu^{\ast}(A) \\ \ge& \mu^{\ast} \Big( \big[ A\cap E_{1}\cap E_{2} \big] \cup \big[ A \cap E_{1} \cap E_{2}^{c}\big] \cup \big[ A \cap E_{1}^{c} \cap E_2 \big] \Big) + \mu^{\ast} (A \cap E_{1}^{c} \cap E_{2}^c ) \\ =&\ \mu^{\ast} \big( A\cap \big[ (E_{1}\cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{2}^{c}) \cup ( E_{1}^{c} \cap E_{2}) \big] \Big) + \mu^{\ast} (A \cap E_{1}^{c} \cap E_{2}^c ) \\ =&\ \mu^{\ast} \big( A\cap (E_{1} \cup E_{2}) \big) + \mu^{\ast} (A \cap E_{1}^{c} \cap E_{2}^c ) \\ =&\ \mu^{\ast} \big( A\cap (E_{1} \cup E_{2}) \big) + \mu^{\ast} \big(A \cap (E_1 \cup E_2 )^{c} \big) \end{align*} $$

      그러므로 $E_{1}$, $E_{2}$가 $\eqref{def1}$을 만족할 때 $E_{1}\cup E_{2}$도 $\eqref{def1}$을 만족한다. 이를 반복하면 $\eqref{def1}$을 만족하는 임의의 $N$개의 $E_{i}$가 있을 때 $\bigsqcup_{i=1}^{N} E_{i}$도 $\eqref{def1}$을 만족함을 알 수 있다.

    • Part 2.

      처음 조건에서 각각의 $E_{i}$들은 서로 다르다는 조건이 없다. 이 조건이 증명에 필요하므로 약간의 트릭이 필요하다. 우선 각각의 $\tilde{E}_{i}$들을 다음과 같이 정의하자.

      $$ \begin{align*} \tilde{E}_{1} &= E_{1} \\ \tilde{E}_{2} &= E_{2} \cap \tilde{E}_{1}^{c} \\ \tilde{E}_{3} &= E_{3} \cap (\tilde{E}_{1} \cup \tilde{E}_{2} )^{c} \\ \tilde{E}_{4} &= E_{4} \cap (\tilde{E}_{1} \cup \tilde{E}_{2} \cup \tilde{E}_{3})^{c} \\ &\vdots \end{align*}
      $$

      그러면 각각의 $\tilde{E}_{i}$들은 서로소이면서, $\eqref{def1}$을 만족하고 다음이 성립한다.

      $$ \bigsqcup_{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} = \bigsqcup _{i=1}^\infty E_{i} $$

      이는 직접 계산해보면 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 이제 각각의 $\tilde{E}_{i}$들이 $\eqref{def1}$을 만족할 때 $ \bigsqcup_{i=1}^\infty \tilde{E}_{i}$가 $\eqref{def1}$을 만족함을 보여도 일반성을 잃지 않고 증명을 완료할 수 있다.

    • Part 3.

      준가법성에 의해 다음이 성립한다.

      $$ \mu^{\ast} (A) \le \mu^{\ast}\left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty \tilde{E}_{i}\right) \right) + \mu^{\ast} \left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} \right)^{c} \right) $$

      이제 반대방향의 부등호도 성립함을 보이면 증명이 완료된다. Part 1. 에서 $N$개에 대해서는 성립함을 보였으므로 다음이 성립한다.

      $$ \begin{align*} \mu^{\ast} (A) &= \mu^{\ast} \left( A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^N \tilde{E}_{i}\right) \right) + \mu^{\ast} \left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^N \tilde{E}_{i} \right)^{c} \right) \\ &\ge \mu^{\ast} \left( A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^N \tilde{E}_{i}\right) \right) + \mu^{\ast} \left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} \right)^{c} \right) \\ &= \sum \limits_{i=1}^N\mu^{\ast}\left(A \cap \tilde{E}_i \right) + \mu^{\ast} \left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} \right)^{c} \right) \end{align*} $$

      위 부등식은 모든 $N$에 대해서 성립하므로 다음의 식이 성립한다.

      $$ \begin{align*} \mu^{\ast} (A) & \ge \sum \limits_{i=1}^\infty \mu^{\ast}\left(A \cap \tilde{E}_{i} \right) + \mu^{\ast} \left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} \right)^{c} \right) \\ &\ge \mu^{\ast} \left( A \cap \left( \bigsqcup_{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} \right) \right) + \mu^{\ast} \left(A \cap \left( \bigsqcup _{i=1}^\infty \tilde{E}_{i} \right)^{c} \right) \end{align*} $$

      두번째 부등호는 가산준가법성 에 의해 성립한다.


  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p100 ↩︎

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