칸토어의 축소구간 정리

칸토어의 축소구간 정리

Proof of cantors nested intervals Theorem

정의1

집합의 수열 $\left\{ S_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대해 $S_{n+1} \subset S_{n}$ 이면 내포Nested 되었다고 한다.

설명

내포의 번역은 별로 매끄럽지 않은데, 별다른 대안이 없으므로 그냥 네스티드Nested로 외우는 걸 추천한다.

정리

내포된 구간 $[a_{n}, b_{n}]$ 에 대해 다음이 성립한다.

(a) $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] \ne \emptyset$

(b) 특히 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 이면 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ 은 홑원소 집합이다.

홑원소 집합 이란 원소가 단 하나밖에 존재하지 않는 집합을 말한다.

증명

(a)

가정에 따라 모든 자연수 $n$ 에 대해서

$$ [a_{n+1} , b_{n+1} ] \subset [a_{n} , b_{n} ] \\ a_{1} \le a_{n} \le b_{n} \le b_{1} $$

완비성 공리에 의해 두 수

$$ a:=\sup \left\{ a_{n} \right\} \\ b:=\inf \left\{ b_{n} \right\} $$

가 존재한다. 모든 자연수에 대해 $a_{n} \le a \le b \le b_{n}$ 이 성립해서 $[a,b] \subset [a_{n} , b_{n} ]$ 이므로

$$ \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] \ne \emptyset $$

(b)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 을 가정하면 $a=b$ 이므로

$$ \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] = \left\{ a \right\} = \left\{ b \right\} $$

같이보기


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p55 ↩︎

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