보렐-르벡 정리

보렐-르벡 정리

Proof of borel lebesgue Theorem

정리

거리 공간 $(X, \rho)$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

(a) $X$ 는 컴팩트 공간이다.

(b) $X$ 는 시퀀셜리 컴팩트 공간이다.

(c) $X$ 는 완비 공간이고 완전 유계 공간이다.

설명

거리 공간 $X$ 가 시퀀셜리 컴팩트Sequentially Compact 공간이라는 것은 $X$ 의 모든 시퀀스가 $X$ 의 한 점으로 수렴하는 서브 시퀀스를 갖는 공간이라는 뜻이다.보렐-르벡 정리는 거리 공간에서 컴팩트의 여러 필요충분조건을 제공한다. 다만 이 이름은 별로 유명하지 않고, 그냥 거리 공간에서 컴팩트의 동치조건 정도로만 소개되는 경우가 많다.

증명

  • (a) $\implies$ (b)

    $X$ 에서 정의된 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 수렴하는 서브 시퀀스를 가지지 않는다고 가정해보자. 그러면 모든 $i \ne j$ 에 대해 $x_{j} \notin \mathcal{N} (x_{i})$ 을 만족하는 $x_{i}$ 의 오픈 네이버후드 $\mathcal{N}(x_{i})$ 가 존재할 것이다. $\mathcal{N}_{0} := X \setminus \left\{ x_{n} \right\}$ 은 오픈 셋이므로 $\left\{ \mathcal{N}_{0} \right\} \cup \left\{ \mathcal{N}(x_{n}) : n \in \mathbb{N} \right\}$ 은 $X$ 의 오픈 커버인데, 이것의 모든 유한 오픈 서브커버는 반드시 $\left\{ x_{n} \right\}$ 중에서 무한히 많은 점을 빠뜨릴 수밖에 없다. 이는 $X$ 가 컴팩트라는 가정에 모순이다.

  • (b) $\implies$ (c)

    우선 $X$ 가 완비 공간임을 보이자.

$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $X$ 에서 정의된 코시 시퀀스라고 하자. $X$ 가 시퀀셜리 컴팩트라는 것은 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 수렴하는 서브 시퀀스 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 를 가진다는 것이다. 다시 말해 $k \to \infty$ 일 때 어떤 $x \in X$ 에 대해 $x_{n_{k}} \to x$ 인데, 주어진 $\varepsilon >0$ 에 대해 $i, j \ge N$ 가 무엇이 되든 $\rho(x_{i}, x_{j}) < \varepsilon / 2$ 이 성립하게끔 충분히 큰 $N \in \mathbb{N}$ 을 잡자. 그리고 $\rho(x_{n_{k}} , x) < \varepsilon/2$ 이 성립하게끔 $n_{k} \ge N$ 을 잡으면

$$ \begin{align*} \rho(x,x_{N}) \le & \rho(x,x_{n_{k}}) + \rho (x_{n_{k}} , x_{N}) \\ =& \varepsilon/2 + \varepsilon/2 \\ =& \varepsilon \end{align*} $$

따라서 $X$ 는 완비 공간이다. 이제 $X$ 가 완전 유계 공간임을 보이기 위해 $X$ 가 유한히 많은 반경 $\varepsilon$ 의 볼들로 커버되지 않는다고 가정해보자. 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 를 다음과 같이 잡자.

$$ x_{1} \in X \\ x_{2} \in X \setminus B_{\rho}(x_{1};\varepsilon) \\ x_{3} \in X \setminus B_{\rho}(x_{1};\varepsilon) \setminus B_{\rho}(x_{2} ; \varepsilon) \\ \vdots $$

이 시퀀스는 수렴하는 서브 시퀀스를 갖지 않으므로 $X$ 가 시퀀셜리 컴팩트라는 가정에 모순이다. 따라서 $X$ 는 완전 유계 공간이어야한다.

  • (c) $\implies$ (b)

    $X$ 는 완전 유계 공간이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해

    $$ X \subset B_{\rho} \left( y_{1}^{(n)} ; {{ 1 } \over { n }} \right) \cup \cdots \cup B_{\rho} \left( y_{k_{n}}^{(n)} ; {{ 1 } \over { n }} \right) $$

    를 만족하는 유한 집합의 시퀀스 $S_{n}:= \left\{ y_{1}^{(n)}, \cdots , y_{k_{n}}^{(n)} \right\}$ 이 존재한다. 이제 $X$ 에서 정의된 임의의 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 에 대해 수렴하는 서브 시퀀스 $\left\{ z_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 를 다음과 같은 방법으로 직접 찾아내려고 한다.

$S_{1}$ 은 유한 집합이므로 가장 마지막 원소 $y_{k_{1}}^{(1)}$ 를 특정할 수 있고, $ B_{\rho} \left( y_{k_{1}}^{(1)} ; {{ 1 } \over { 1 }} \right)$ 는 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 의 점을 무수히 많이 가진다. 이 중 하나를 골라 $z_{1} \in B_{\rho} \left( y_{k_{1}}^{(1)} ; {{ 1 } \over { 1 }} \right)$ 을 정한다. $s_{2}$ 도 유한 집합이므로 가장 마지막 원소 $y_{k_{2}}^{(2)}$ 를 특정할 수 있고, 비슷하게 $z_{2} \in B_{\rho} \left( y_{k_{1}}^{(1)} ; {{ 1 } \over { 1 }} \right) \cap B_{\rho} \left( y_{k_{2}}^{(2)} ; {{ 1 } \over { 2 }} \right)$ 을 정한다. 이렇게 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\displaystyle z_{k} \in \bigcap_{i=1}^{m} B_{\rho} \left( y_{k_{i}}^{(i)} ; {{ 1 } \over { m }}\right)$ 을 잡으면 $\left\{ z_{n} \right\}$ 는 자연스럽게 코시 수열이 된다. $X$ 는 완비 공간이므로 $z_{n}$ 는 $X$ 의 한 점으로 수렴한다. 임의의 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 에 대해 수렴하는 서브 시퀀스 $\left\{ z_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 존재함을 보였으므로 $X$ 는 시퀀셜리 컴팩트다.

  • (b) $\implies$ (a)

    $X$ 의 오픈 커버 $\left\{ U_{i} : i \in I \right\}$ 와 $r>0$ 이 주어져 있다고 할 때 모든 $i \in I$ 에 대해 $B_{\rho} (x; r) \nsubseteq U_{i}$ 를 만족하는 $x \in X$ 가 존재한다고 가정해보자. 그러면 이제 모든 $i \in I$ 에 대해 $B_{\rho}(x_{n} ; 1/n) \nsubseteq U_{i}$ 을 만족하게끔 하는 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 를 하나 잡을 수 있을 것이다. $X$ 가 시퀀셜리 컴팩트라는 것은 시퀀스 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 수렴하는 서브 시퀀스 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 를 가진다는 것이다. 다시 말해 $k \to \infty$ 일 때 어떤 $x \in X$ 에 대해 $x_{n_{k}} \to x$ 인데, 이 $x$ 가 속하는 오픈 셋 $U_{i_{0}}$ 이 존재할 것이다. $U_{i_{0}}$ 이 오픈 셋이므로 $B_{\rho} (x ; r_{0}) \subseteq U_{i_{0}}$ 을 만족하는 $r_{0}$ 이 존재한다. 이에 대해 $\rho(x , x_{N}) < r_{0} / 2$ 와 $1/N < r_{0}/2$ 를 만족하도록 하는 충분히 큰 자연수 $N \in \mathbb{N}$ 을 잡자. 만약 $y \in B_{\rho} (x_{N} ; 1/N)$ 이라고 하면

    $$ \begin{align*} \rho(x,y) \le & \rho(x,x_{N}) + \rho(x_{N},y) \\ <& r_{0}/2 + r_{0}/2 \\ =& r_{0} \end{align*} $$

    이므로 $y \in B_{\rho} (x; r_{0}) \subseteq U_{i_{0}}$ 이다. 즉

    $$ B_{\rho} (x_{N} ; 1/N) \subseteq B_{\rho} (x; r_{0}) \subseteq U_{i_{0}} $$

    인데, 이는 모순이므로 모든 $x \in X$ 와 어떤 $i \in I$ 에 대해 $B_{\rho}(x,r) \subseteq U_{i}$ 을 만족하게끔하는 $r>0$ 이 존재해야한다. (b) $\implies$ (c) 에서 시퀀셜리 컴팩트 공간은 완전 유계임을 보였으므로, $\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} B_{\rho}(y_{1} ; r)$ 를 만족시키는 유한히 많은 점 $y_{1} , \cdots , y_{n} \in X$ 들이 존재한다. 물론 각각의 $y_{i}$ 들은 어떤 $k_{i} \in I$ 에 대해 $B_{r}(y_{i}) \subset U_{k_{i}}$ 이므로 $\left\{ U_{k_{1}} , \cdots , U_{k_{n}} \right\}$ 은 오픈 커버 $\left\{ U_{i} : i \in I \right\}$ 의 유한 부분커버가 된다. 따라서 $X$ 는 컴팩트다.

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