힐베르트 공간으로 일반화된 베셀 부등식 증명

힐베르트 공간으로 일반화된 베셀 부등식 증명

정리1

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 힐베르트 공간 $H$의 정규직교집합이라고 하면 다음이 성립한다.

(a) 모든 $\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$에 대해 무한 급수 $\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}$는 수렴한다.

(b) 모든 $\mathbf{v} \in H$에 대해

$$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

설명

$\ell^{2}$ 공간이란 제곱의 합이 수렴하는 복소수 시퀀스의 집합으로 이루어진 함수공간이다. 베셀 부등식은 푸리에 해석에서 중요하게 다뤄지며, 일반적인 힐베르트 공간으로 확장될 수 있다.

증명

(a)

$\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$라고 하자. 모든 자연수 $n > m$에 대해

$$ \begin{align*} \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} \\ =& \left\langle \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} , \sum_{l=m+1}^{n} c_{l} \mathbf{v}_{l} \right\rangle \\ =& \sum_{k = m+1}^{n} \sum_{l = m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{l}} \left\langle \mathbf{v}_{k} , \mathbf{v}_{l} \right\rangle \end{align*} $$

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$의 정규직교성에 따라

$$ \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{k}} = \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} $$

$\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$이므로 $\lim_{m \to \infty} \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} = 0$이고, $\left\{ \sum_{k =1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$은 $H$의 코시 시퀀스이므로 수렴한다.

(b)

위의 (a) 에 따라 다음의 존재성이 보장되며, 피타고라스 정리에 따라

$$ \left\| \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \left| c_{k} \right|^{2} $$

이제 $T : \ell^{2} \to H$ 를 $T \left\{ c_{k} \right\} _{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}$와 같이 정의하자.

베셀 시퀀스의 동치조건

힐베르트 공간 $H$ 의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 과 $B > 0$ 가 주어져 있다고 하면 아래의 두 명제는 동치이다.

  • $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 가 베셀 바운드 $B$ 인 베셀 시퀀스다.

  • 다음과 같이 정의된 작용소 $T$ 가 선형이고 유계면서 $\left\| T \right\| \le \sqrt{B}$. $$ T : \ell^{2} \to H \\ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

베셀 시퀀스의 정의

힐베르트 공간 $H$ 의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음을 만족하는 $B > 0$ 가 존재하면 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 를 베셀 시퀀스라 하고 $B$ 를 베셀 바운드라 한다. $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2 } \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf{v} \in H $$

그러면 $T$ 는 선형이고 유계면서 $\left\| T \right\| = 1$ 이므로 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 베셀 바운드 $B=1$ 인 베셀 시퀀스다. 베셀 시퀀스의 정의에 따라, 다음이 성립한다.

$$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} $$

같이보기


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p78-79 ↩︎

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