바나흐 고정점 정리 증명

바나흐 고정점 정리 증명

정의

정리 1

$T$의 고정점은 유일하게 존재한다.

설명

바나흐 고정점 정리는 축소 사상 정리contraction mapping theorem라도 불리며, 힐베트르 공간을 상정하는 편미분방정식의 풀이나 주로 $\mathbb{R}^{n}$ 상에서의 메소드를 다루는 수치해석에서 요긴하게 쓰일 수 있다.

사실 증명에서 놈 자체는 필요하지는 않기 때문에 $X$는 바나흐 공간이 아니라 완비 거리공간에 대해 일반화 될 수 있다. 거리공간의 $(X , d)$ 의 거리를 $d (x,y) := \| x - y \|$ 와 같이 정의하면 정확히 같은 증명이 된다.

증명

혹은 바나흐 공간은 거리 공간이므로 하우스도르프 공간이고, 하우스도르프 공간에서는 시퀀스가 유일하게 수렴한다고 해도 좋다.


  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p300~302. ↩︎

댓글