해석학에서 아르키메데스의 원리

해석학에서 아르키메데스의 원리

Proof of archimedean principle

정리

양수 $a$ 와 실수 $b$ 에 대해, $an>b$ 를 만족하는 자연수 $n$ 이 존재한다.

설명

어떤 $b$를 가져오더라도 항상 그보다는 큰 $a$ 의 $n$ 배수를 생각할 수 있다는 뜻이다. 쉽게 말하면 아무리 ‘작은 수라도 계속 더하면 계속 커진다’는 아주 상식적이고 당연한 원리다.부력의 원리, 유레카와는 상관이 전혀 없고 이름만 같을 뿐이다.

증명

Strategy: 증명 과정에서 해석학의 3가지 공리가 총동원된다. 아무리 당연한 사실인 것 같아도 그 공리를 정확히 언급하면서 꼼꼼하게 완성해나가는 것이 핵심이다.


  • case 1

    만약 $a>b$ 이면, $n=1$ 일 때 $an>b$ 을 만족한다.

  • casr 2

    $E := \left\{ n \in {\mathbb{N}} ,|, an<b \right\}$이라고 하자. 체 공리에 의해 $a$ 의 역원 $\dfrac{1}{a}$ 가 존재하고, 순서 공리에 의해 $\dfrac{1}{a}>0$이다. 따라서 다음이 성립한다.

    $$ an<b \iff n < \dfrac{b}{a} $$

    즉, $E = \left\{ n \in {\mathbb{N}} ,|, n < \dfrac{b}{a} \right\}$ 은 위쪽으로 유계다. 완비성 공리에 의해 $\sup(E)$가 존재하므로, $an>b$ 를 만족시키는 $n=\sup(E)+1$ 이 존재한다.

댓글