삼각함수의 덧셈정리 여러가지 증명

삼각함수의 덧셈정리 여러가지 증명

정리

$$ \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ \tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta } \\ \tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta } $$

증명

코사인 법칙을 이용한 증명

1.png

피타고라스의 정리에 의해 $$ \begin{align*} {\overline { AB } } ^{ 2 } =& {( \cos \alpha -\cos \beta )}^{ 2 }+{(\sin\alpha -\sin\beta )}^{ 2 } \\ =& 2-2 \cos \alpha \cos \beta –2 \sin \alpha \sin \beta \end{align*} $$

제2코사인 법칙에 의해

$$ \begin{align*} { \overline { AB } } ^{ 2 } =& 1^{ 2 }+1^{ 2 }-2\cos(\beta -\alpha ) \\ =& 2-2\cos(\beta -\alpha ) \end{align*} $$

위 두 식의 우변은 서로 같으므로

$$ \cos(\beta -\alpha )=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta $$

가장 기본적인 증명법으로, 여러가지 방법이 있지만 가장 처음에는 보통 이 방법을 접한다.

벡터의 내적을 이용한 증명

$$ \begin{align*} \cos(\beta -\alpha ) =& \frac { \vec { OA }\cdot \vec { OB } }{ \left| \vec { OA } \right| \left| \vec { OB } \right| } \\ =& \cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{align*} $$

벡터의 내적은 종이에다 쓰면 사실 한줄이나 마찬가지다. 아이디어도 간단하고 가장 쉬운 방법이다.

삼각형을 이용한 증명

3.png

(1) 삼각형의 넓이를 $S$ 라 하면

$$ S=\frac { 1 }{ 2 }ab\sin(\alpha +\beta ) $$

(2) 수선을 경계로 한 두 삼각형의 넓이를 더하면

$$ S=\frac { 1 }{ 2 }bh\sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ah\sin\beta $$

이때 $h=b\cos\alpha =a\cos\beta$ 이므로

$$ S=\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\beta \sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\alpha \sin\beta $$

(1)과 (2)에서 구한 것은 모두 $S$ 이므로 양변의 $\frac { 1 }{ 2 }ab$ 를 소거하면

$$ \sin(\alpha +\beta )=\cos\beta \sin\alpha +\cos\alpha \sin\beta $$

삼각형의 넓이를 이용한 증명의 경우 아이디어는 단순하고 $h$ 를 잘 다루는 것이 관건이다.

회전변환을 이용한 증명

4.png 점 $A$를 원점에 대해 $\beta$ 만큼 회전변환하면

$$ \begin{bmatrix} \cos(\alpha +\beta ) \\ \sin(\alpha +\beta ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { \cos\beta }&{ -\sin\beta } \\ { \sin\beta }&{ \cos\beta } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { \cos\alpha } \\ { \sin\alpha } \end{bmatrix} \\ \implies \begin{cases} \cos(\alpha +\beta )=\cos\beta \cos\alpha -\sin\beta \sin\alpha \\ { \sin(\alpha +\beta )=\sin\beta \cos\alpha +\cos\beta \sin\alpha } \end{cases} $$

회전 변환을 이용한 증명이다. 각을 조금 다르게 설정해야하는데, 한번에 코사인과 사인에 대한 것을 동시에 얻을 수 있어 좋다.

따름정리

아래의 경우 생각보다 자주 쓰이기 때문에 외워두면 편리하다.

탄젠트의 덧셈 공식 증명

$$ \tan (\theta_1 \pm \theta2)=\dfrac{\sin ( \theta_1 \pm \theta_2)}{\cos ( \theta_1 \pm \theta_2)} =\dfrac{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 \pm \sin \theta_2 \cos \theta_2}{\cos \theta_1 \cos\theta_2 \mp \sin\theta_1 \sin\theta_2} $$ 이 때 분자, 분모를 $\cos\theta_1\cos\theta_2$로 나누면 $$ \dfrac{ \dfrac{\sin \theta_1}{ \cos \theta_1} \pm \dfrac{\sin \theta_2}{ \cos \theta_1} } { 1 \mp \dfrac{\sin\theta_1 \sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2 }} = \dfrac{ \tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2} $$

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