📂상미분방정식

선형 동차 미분방정식의 해의 선형 결합도 해임을 증명

proof of a linear combination of solutions of a linear homogeneous differential equation also to be solution

정리¹

$y_{1}, y_{2}$가 $ay^{\prime \prime}+by^\prime +cy=0$의 해이면 $d_{1}y_{1} + d_{2}y_{2}$도 해이다. 이때 $d_{1}, d_{2}$는 임의의 상수이다.

설명

증명을 보면 알겠지만 임의의 $n$계 선형 동차 미분 방정식에 대해서도 성립한다.

증명

$y_{1}, y_{2}$가 $ay^{\prime \prime}+by^\prime +cy=0$의 해라고 하자. 그러면 아래의 두 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} d_{1} (ay_{1}^{\prime \prime}+by_{1}^\prime + cy_{1} ) &=0 \\ d_{2} (ay_{2}^{\prime \prime}+by_{2}^\prime + cy_{2}) &=0 \end{align*} $$

$d_{1}y_{1} + d_{2}y_{2}$를 주어진 미분방정식에 대입하여 $0$이 나오면 증명 끝.

$$ \begin{align*} &a(d_1y_{1}+d_2y_{2})^{\prime \prime}+b(d_1y_{1}+d_2y_{2})^\prime +c(d_1y_{1}+d_2y_{2}) \\ =&\ ad_1y_{1}^{\prime \prime} + ad_2y_{2}^{\prime \prime} + bd_1y_{1}^\prime + bd_2y_{2}^\prime + cd_1y_{1} + cd_2y_{2} \\ =&\d_1\left( ay_{1}^{\prime \prime} + by_{1}^\prime + cy_{1} \right) + d_2\left( ay_{2}^{\prime \prime} + by_{2}^\prime + cy_{2} \right) \\ =&\ 0 \end{align*} $$

가정에 의해 첫째, 둘째 괄호가 모두 $0$이므로 식이 성립한다. 따라서 $y_{1}$, $y_{2}$가 주어진 미분방정식의 해일 때 $d_1y_{1}+d_2y_{2}$ 역시 해이다.

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1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p112 ↩︎