선형대수에서 사영정리

선형대수에서 사영정리

projection theorem in linear algebra

정리1

$W$가 유한차원 내적공간 $V$의 부분공간이면 모든 $\mathbf{u} \in V$는 다음과 같은 식으로 유일하게 표현된다.

$$ \begin{equation} \mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \end{equation} $$

이때 $\mathbf{w}_{1} \in W$이고 $\mathbf{w}_{2} \in W^{\perp}$ 이다.

설명

정리의 $\mathbf{w}_{1}$와 $\mathbf{w}_{2}$는 각각 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$ \mathbf{w}_{1} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} \quad \text{and} \quad \mathbf{w}_{2} = \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u} $$

또한 이러한 $\mathbf{w}_{1}$, $\mathbf{w}_{2}$를 각각 $W$로의 $\mathbf{u}$의 정사영orthogonal projection of $\mathbf{u}$ on $W$, 직교사영, $W^{\perp}$로의 $\mathbf{u}$의 정사영이라 부른다. $(1)$은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$ \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u} $$

$$ \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + (\mathbf{u} - \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u}) $$


  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p366-367 ↩︎

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