초함수의 곱의 미분법

초함수의 곱의 미분법

정리1

$T\in D^{\ast}$를 초함수, $f \in C^{\infty}$를 스무스 함수라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

$$ (fT)'= f^{\prime}T+fT' $$

설명

기존의 곱의 미분법과 찰떡같이 잘 맞으니 초함수의 미분초함수의 곱이 그럴듯하게 정의됐음을 느낄 수 있다.

증명

초함수 미분과 곱의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} D( fT (\phi) ) &= D( T(f\phi) ) \\ &= T\left( (f\phi)' \right) \\ &= T(f^{\prime}\phi+f\phi') \\ &= T(f^{\prime}\phi)+T(f\phi') \\ &=f^{\prime}T(\phi)+fT(\phi') \\ &= f^{\prime}T(\phi)+fT'(\phi) \end{align*} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ (fT)'=f^{\prime}T+fT' $$


  1. Daniel Eceizabarrena perez, Distribution Theory and Fundamental Solutions of Differential Operators (2015), p12 ↩︎

댓글